Słaba pochodna – rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Ustalenia wstępne
Niech
będzie obszarem oraz niech
oznacza przestrzeń wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w
ze zwartym nośnikiem, zawartym w
Ponadto, niech
Jeśli
jest funkcją różniczkowalną w
to stosując wzór na całkowanie przez części, można pokazać, że (oczywiście uwzględniając to, że funkcją
ma zwarty nośnik, tzn. jest równa zero w pewnym otoczeniu brzegu domknięcia zbioru U):
![{\displaystyle \int \limits _{U}u{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}dx=-\int \limits _{U}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\phi dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a59042f02465d3be1ca7f707b538a0e2f0c47f)
dla
Ogólniej, jeśli
jest funkcją
-krotnie różniczkowalną w
a
jest wielowskaźnikiem, to
![{\displaystyle \int \limits _{U}uD^{\alpha }\phi dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{U}D^{\alpha }u\phi dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131adb7c0da4c2ed527713f430ea949ee6bd0304)
W teorii równań różniczkowych cząstkowych czasem istnieje potrzeba ograniczenia założeń co do gładkości funkcji
powstaje wówczas pytanie czy istnieje funkcja
że
w powyższym wzorze.
Definicja
Niech funkcje
będą lokalnie całkowalne w zbiorze
[1] oraz niech
będzie takie jak wyżej. Mówimy, że funkcja
jest
-tą słabą pochodną funkcji
wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle \int \limits _{U}uD^{\alpha }\phi dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{U}v\phi dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f189eb06f544ac5700d56e4293cd3777a9ce5571)
dla każdej funkcji
Jeśli
jest
-tą słabą pochodną funkcji
to zapisujemy to
![{\displaystyle v=D^{\alpha }u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0f3a2cecbef08726b2a2ad686842192d58e566)
Uwaga
- Słabe pochodne pewnej ustalonej funkcji są równe prawie wszędzie.
Przykład
Funkcja
dana wzorem
![{\displaystyle f(x)=|x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094ddc9667a7f47e36687c1d2a94d35c0c7d5c67)
nie jest różniczkowalna w punkcie
jednak funkcja signum jest jej słabą pochodną.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Tzn. są elementami przestrzeni
gdzie dla ustalonego
zbiór