Przestrzeń Frécheta (topologia)

Przestrzeń Frécheta (także przestrzeń Frécheta-Uryshona) – w topologii ogólnej, przestrzeń topologiczna X {\displaystyle X} o tej własności, że dla każdego podzbioru A ⊆ X , {\displaystyle A\subseteq X,} punkt x ∈ X {\displaystyle x\in X} należy do domknięcia zbioru A {\displaystyle A} wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu elementów zbioru A , {\displaystyle A,} tj. istnieje taki ciąg

x 1 , x 2 , x 3 , ⋯ ∈ A , {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots \in A,}

że

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} [1].

Nazwa pojęcia

Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska francuskiego matematyka Maurice’a Frécheta, który rozważał abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych. W matematyce istnieją także inne znaczenia terminu przestrzeń Frécheta (dawniej określano nim przestrzenie T1; w analizie funkcjonalnej termin ten funkcjonauje w kontekście pewnej klasy przestrzeni liniowo-topologicznych).

Własności

  • Każda przestrzeń spełniająca pierwszy aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Frécheta[1].
  • Podprzestrzeń przestrzeni Frécheta jest przestrzenią Frécheta[2].
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni Frécheta nie musi być przestrzenią Frécheta[3][4].
  • Każde przekształcenie ilorazowe f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} na przestrzeń Frécheta Y , {\displaystyle Y,} w której każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę (a więc w szczególności na T2-przestrzeń Frécheta), jest dziedzicznie ilorazowe[5].

Przypisy

  1. ↑ a b Engelking 1976 ↓, s. 78.
  2. ↑ Engelking 1976 ↓, s. 102.
  3. ↑ S. Franklin, Spaces in which sequences suffice II, „Fund. Math.” 61 (1967), s. 51–56.
  4. ↑ Engelking 1976 ↓, s. 122.
  5. ↑ Engelking 1976 ↓, s. 133.

Bibliografia

  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976.