Problem odwrotny

Załóżmy, że nasz model polega na sumowaniu wszystkich cyfr z pudła (A). Za pomocą zagadnienia odwrotnego staramy się z otrzymanego wyniku odtworzyć zawartość pudła (B). Pomyślność rozwiązania zależy od informacji jakie posiadamy na temat założeń dotyczących naszego modelu.

Problem odwrotny (zagadnienie odwrotne, ang. Inverse problem) – zadanie, które często występuje w różnych gałęziach nauki czy matematyki, gdzie niektóre parametry modelu muszą być wyznaczone na podstawie obserwowanych wartości.

Zapis formalny

Załóżmy, że wybrane zjawisko można opisać za pomocą zależności:

Y = H ( X , P , C ) {\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {H} (\mathbf {X} ,\mathbf {P} ,\mathbf {C} )}

gdzie Y = { y 1 , y 2 , … , y m } {\displaystyle \mathbf {Y} =\{y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\}} to wektor danych wyjściowych z systemu (np. zmierzona temperatura obiektu); X = { x 1 , x 2 , … , x n } {\displaystyle \mathbf {X} =\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}} to wektor danych wejściowych oznaczający przyczyny zewnętrzne (np. przyłożona siła); P = { p 1 , p 2 , … , p r } {\displaystyle \mathbf {P} =\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{r}\}} oznacza właściwości samego systemu (np. stałe materiałowe); C = { c 1 , c 2 , … , c k } {\displaystyle \mathbf {C} =\{c_{1},c_{2},\dots ,c_{k}\}} oznacza warunki brzegowe; H {\displaystyle \mathbf {H} } to system (funkcja, macierz) opisujący zjawisko. Jeśli na podstawie znanych parametrów X , P , C {\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {P} ,\mathbf {C} } wyznaczana jest wartość Y , {\displaystyle \mathbf {Y} ,} to mamy do czynienia z zagadnieniem wprost. W przypadku gdy na podstawie znajomości wektora Y {\displaystyle \mathbf {Y} } i wybranych parametrów spośród X , P , C {\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {P} ,\mathbf {C} } mamy wyznaczyć brakujące wielkości opisujące zjawisko mówimy o problemie odwrotnym. Możliwa jest również sytuacja w której np. posiadamy niepełną informację na temat wektorów Y {\displaystyle \mathbf {Y} } i X , {\displaystyle \mathbf {X} ,} wtedy zadanie mające na celu wyznaczyć brakujące wartości nazywamy problemem mieszanym[1].

Prosty przykład

Odnosząc rozumowanie do ilustracji obok załóżmy, że nasz model polega na zsumowaniu wszystkich cyfr z pudła (część A rysunku). Zagadnienie odwrotne mogłoby polegać na wyznaczeniu na podstawie obserwowanego wyniku 27 zawartości pudła (część B rysunku). W zależności od dodatkowych informacji o naszym modelu możemy uzyskać rzeczywiste rozwiązanie bądź nie. Mówimy wtedy, że problem jest dobrze bądź źle postawiony.

Typy problemów źle postawionych

W praktyce zagadnienia odwrotne są często problemami źle postawionymi i do ich rozwiązania wykorzystuje się np. metody regularyzacyjne. Wybór techniki rozwiązania zależy od rodzaju zagadnienia. Zwyczajowo wyróżnia się 3 następujące typy zagadnień odwrotnych źle postawionych[1]:

  • typ I – gdy liczba niewiadomych jest większa niż liczba danych wejściowych,
  • typ II – gdy poszukiwane parametry modelu są niewrażliwe na dane wejściowe,
  • typ III – gdy zmierzone dane wejściowe obarczone błędem pomiarowym poddawane są działaniu operatora różniczkowego.

Przykłady zastosowań

Praktycznym wykorzystaniem problemu odwrotnego jest np. algorytm rekonstrukcji obrazu w tomografii komputerowej[2], wyznaczanie prądów morskich[3], zastosowanie w badaniach nieniszczących[1] czy wyznaczanie źródeł bioelektrycznych elektrokardiografii[4] i elektroencefalografii[5].

Zobacz też

  • regularyzacja Tichonowa

Przypisy

  1. ↑ a b c G.R. Liu, X. Han: Computational Inverse Techniques in Nondestructive Evaluation. CRC Press, 2003. ISBN 978-0-8493-1523-7.
  2. ↑ M. Bertero, P. Boccacci: Introduction to Inverse Problems in Imaging. CRC Press, 1998. ISBN 978-1-4398-2206-7.
  3. ↑ Carl Wunsch: The Ocean Circulation Inverse Problem. Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-48090-6.
  4. ↑ Yuan Jiang: Solving the Inverse Problem of Electrocardiography in a Realistic Environment. KIT Scientific Publishing, 2010. ISBN 978-3-86644-486-7.
  5. ↑ Johannes Höhne: The inverse EEG problem. GRIN Verlag, 2008. ISBN 978-3-638-06888-8.

Linki zewnętrzne

  • Międzynarodowe Stowarzyszenie Problemów Odwrotnych