Postulaty mechaniki kwantowej

Postulaty mechaniki kwantowej – podstawowe założenia mechaniki kwantowej, na podstawie których została opracowana cała teoria fizyczna i sformułowane ogólne prawa[a]. Jako że mechaniki kwantowej, tak samo, jak i innych teorii fizycznych, nie można wyprowadzić ani udowodnić, jej sformułowanie matematyczne oparte jest na szeregu założeń, zwyczajowo nazywanych postulatami. Ostatecznie o ich poprawności świadczy jedynie zgodność z doświadczeniem.

I postulat

Stan układu kwantowomechanicznego jest opisany dzięki funkcji falowej ψ ( q 1 , q 2 , . . . , q f ,   t ) . {\displaystyle \psi (q_{1},q_{2},...,q_{f},\ t).} Jest to funkcja stanu zależna od współrzędnych uogólnionych i czasu, o f stopniach swobody.

Sama funkcja falowa nie ma sensu fizycznego. Sens fizyczny ma kwadrat modułu funkcji falowej pomnożony przez element objętości, który określa prawdopodobieństwo, że w chwili t {\displaystyle t} wartości współrzędnych są w przedziałach q 1 {\displaystyle q_{1}} do q 1 + d q 1 , . . . q f {\displaystyle q_{1}+dq_{1},...q_{f}} do q f + d q f : {\displaystyle q_{f}+dq_{f}{:}}

| ψ ( q 1 , q 2 , . . . q f , t ) | 2 d τ = ρ ( q 1 , q 2 , . . . q f , t ) d τ , {\displaystyle |\psi (q_{1},q_{2},...q_{f},t)|^{2}d\tau =\rho (q_{1},q_{2},...q_{f},t)d\tau ,}

gdzie element objętości odnosi się do przestrzeni f-wymiarowej. Ponieważ całkowite prawdopodobieństwo musi być równe jedności, funkcję falową wygodnie jest znormalizować jako:

∫ | ψ ( q 1 , q 2 , . . . q f , t ) | 2 d τ = 1. {\displaystyle \int |\psi (q_{1},q_{2},...q_{f},t)|^{2}d\tau =1.}

Zatem jeżeli ρdτ określa prawdopodobieństwo, to ρ określa gęstość prawdopodobieństwa. Możliwość normalizacji funkcji falowej wynika z faktu, że jeśli ψ {\displaystyle \psi } jest rozwiązaniem równania falowego, to jest również nim A ψ {\displaystyle A\psi } (gdzie A {\displaystyle A} to stała)[1].

II postulat

Drugi postulat mówi o tym, że każdej zmiennej dynamicznej A {\displaystyle A} przyporządkowuje się pewien operator α ^ . {\displaystyle {\hat {\alpha }}.} Należy się do tego posłużyć pewnymi regułami:

  • jeżeli zmienną jest współrzędna q {\displaystyle q} lub czas t , {\displaystyle t,} to odpowiadającym operatorem jest ta sama zmienna q ^ {\displaystyle {\hat {q}}} lub t ^ , {\displaystyle {\hat {t}},}
  • jeżeli zmienną jest pęd, to jego operatorem jest:
p ^ i = ℏ i ∂ ∂ q i , {\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}},}
  • jeżeli zmienną jest inna wielkość niż wyżej wymienione, to operator należy wyrazić poprzez jedną z powyższych zmiennych, zastępując je odpowiednimi operatorami, np.: składowa z momentu pędu: M ^ z = ℏ i ( x ∂ ∂ y − y ∂ ∂ x ) . {\displaystyle {\hat {M}}_{z}={\frac {\hbar }{i}}\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right).}

Drugi postulat wprowadza również pojęcie komutatora, np.

p ^ i q ^ i − q ^ i p ^ i ≡ [ p ^ i q ^ i ] {\displaystyle {\hat {p}}_{i}{\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{i}{\hat {p}}_{i}\equiv [{\hat {p}}_{i}{\hat {q}}_{i}]}

oraz hamiltonianu, czyli operatora energii całkowitej:

H ^ = T ^ + V ^ , {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}

gdzie T ^ {\displaystyle {\hat {T}}} i V ^ {\displaystyle {\hat {V}}} to operatory energii kinetycznej i potencjalnej.

III postulat

Trzeci postulat wprowadza podstawowe równanie mechaniki kwantowej – równanie Schrödingera zawierające czas:

− ℏ i ∂ ∂ t ψ = H ^ ψ . {\displaystyle -{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi .}

Jeśli znany jest operator Hamiltona, to można wyznaczyć funkcję falową ψ ( q 1 , q 2 , . . . , q f ,   t ) . {\displaystyle \psi (q_{1},q_{2},...,q_{f},\ t).}

IV postulat

Jeśli ψ {\displaystyle \psi } oznacza funkcję własną, a a n {\displaystyle a_{n}} wartość własną operatora α , {\displaystyle \alpha ,} to:

α ^ ψ n = a n ψ n . {\displaystyle {\hat {\alpha }}\psi _{n}=a_{n}\psi _{n}.}

Takie twierdzenie ma kilka konsekwencji:

  • Ponieważ pomiar zmiennych dynamicznych musi być liczbą rzeczywistą, to ich operatory muszą być hermitowskie.
  • Jeśli operatory α ^ {\displaystyle {\hat {\alpha }}} i β ^ {\displaystyle {\hat {\beta }}} ze sobą komutują, to mają wspólną funkcję własną, natomiast jeśli są nieprzemienne, mają różne funkcje własne.
  • Wynikiem pomiaru energii może być tylko wartość własna operatora Hamiltona:
H ^ ψ ( q 1 , q 2 , . . . q f ) = E ψ ( q 1 , q 2 , . . . q f ) . {\displaystyle {\hat {H}}\psi (q_{1},q_{2},...q_{f})=E\psi (q_{1},q_{2},...q_{f}).}

Powyższe równanie to równanie Schrödingera niezawierające czasu.

V postulat

Piąty postulat wprowadza wielkość zwaną wartością średnią, opisywaną wzorem (dla funkcji znormalizowanej):

a ¯ = ∫ ψ ∗ α ^ ψ d τ , {\displaystyle {\overline {a}}=\int \psi ^{*}{\hat {\alpha }}\psi d\tau ,}

gdzie * oznacza sprzężenie zespolone.

W przypadku funkcji nieunormowanej:

a ¯ = ∫ ψ ∗ α ^ ψ d τ ∫ ψ ∗ ψ d τ . {\displaystyle {\overline {a}}={\frac {\int \psi ^{*}{\hat {\alpha }}\psi d\tau }{\int \psi ^{*}\psi d\tau }}.}

Uwagi

  1. ↑ Numeracja i kolejność postulatów może być zmienna, w różnych źródłach.

Przypisy

  1. ↑ Why do we normalise wave function? – Quora [online], www.quora.com [dostęp 2018-07-15]  (ang.).

Bibliografia