Funkcje hiperboliczne – zbiór sześciu funkcji zdefiniowanych przez działania arytmetyczne na funkcji wykładniczej[1]:
nazwa
symbole
wzory
sinus hiperboliczny
cosinus hiperboliczny
tangens hiperboliczny
cotangens hiperboliczny
secans hiperboliczny
cosecans hiperboliczny
Funkcje te mogą mieć dziedzinę rzeczywistą lub zespoloną i zalicza się je do funkcji elementarnych[1]. Mają własności analogiczne do funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli (jej prawej, dodatniej części).
Przez funkcje hiperboliczne można definiować funkcje polowe, inaczej funkcje area lub areafunkcje – są to funkcje odwrotne tych hiperbolicznych, wyrażane też przez logarytmy.
Dzieje
Do nauki wprowadził je włoski matematyk Vincenzo Riccati, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanym między 1757 a 1762 rokiem[2]. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji.
Szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert upowszechnił te funkcje, pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał im skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego[3].
Związki trygonometryczne
Zobacz też: funkcje trygonometryczne.
Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci wyznacza hiperbolę.
można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:
skąd:
Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem (sinh, cosh, sech, csech), albo (tgh, ctgh).
Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.
Pochodne i całki
Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji hiperbolicznych