Funkcja produkcji Leontiefa

Funkcja produkcji Leontiefa – funkcja zaproponowana przez amerykańskiego ekonomistę rosyjskiego pochodzenia, Wassily’ego Leontiefa^[1]. Funkcja ta jest przypadkiem brzegowym funkcji produkcji CES, dla której elastyczność substytucji czynników produkcji ${\displaystyle \sigma =0.}$ W funkcji tej nie jest możliwe zastąpienie jednego czynnika drugim. Takie czynniki nazywane są doskonale komplementarnymi^[2].

Funkcję Leontiefa można zapisać w następujący sposób:

${\displaystyle f(k,l)=\min(\alpha k,\beta l),}$

gdzie:

${\displaystyle \alpha ,\beta >0,}$

${\displaystyle k}$ – kapitał,

${\displaystyle l}$ – praca.

Własności funkcji

Funkcja Leontiefa ma kształt litery „L” i jest nieróżniczkowalna w punkcie, gdzie ${\displaystyle \alpha k=\beta l.}$ Nachylenie prostej, która łączy wierzchołki izokwant dla różnych poziomów produkcji, wyraża się wzorem ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}.}$ Korzyści skali właściwe dla tej funkcji są stałe^[3].

Optymalizacja kosztów

Firma optymalizująca koszty nie będzie marnowała żadnego czynnika, którego cena jest większa od zera. Z tego powodu, aby zminimalizować koszty, będzie operować na poziomie, gdzie produkcja ${\displaystyle y=\alpha k=\beta l.}$ Jeżeli firma chce produkować ${\displaystyle y}$ dóbr, musi użyć ${\displaystyle {\tfrac {y}{\alpha }}}$ jednostek czynnika ${\displaystyle k}$ i ${\displaystyle {\tfrac {y}{\beta }}}$ jednostek czynnika ${\displaystyle l}$ bez względu na ich ceny ${\displaystyle w_{1}}$ i ${\displaystyle w_{2}.}$

Funkcja kosztów wygląda więc następująco^[4]:

${\displaystyle c(w_{1},w_{2},y)={\tfrac {w_{1}y}{\alpha }}+{\tfrac {w_{2}y}{\beta }}=y\left({\tfrac {w_{1}}{\alpha }}+{\tfrac {w_{2}}{\beta }}\right).}$

Przykłady

Firma A świadczy usługi wykonywania wykopów pod fundamenty. Aby wykonać jeden wykop, firma potrzebuje jednego pracownika i jednej koparki – ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ są równe 1. Zatem ilość wykopów, jaką firma jest w stanie wykonać, jest równa minimum z liczby pracowników i liczby koparek, jaką dysponuje.

Taką funkcję produkcji można zapisać^[3]:

${\displaystyle f(k,l)=\min(k,l),}$

gdzie:

${\displaystyle k}$ – liczba koparek,

${\displaystyle l}$ – liczba zatrudnionych pracowników.

Firma B produkuje samochody. Dla uproszczenia, firma używa jedynie czterech opon i jednej kierownicy do wyprodukowania jednego samochodu. Liczbę wyprodukowanych przez firmę B samochodów można przedstawić następująco^[4]:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=\min \left({\tfrac {1}{4}}x_{1},x_{2}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle x_{1}}$ – liczba opon,

${\displaystyle x_{2}}$ – liczba kierownic.

Przypisy