Element odwrotny

Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.

Niech ${\displaystyle \diamondsuit }$ oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze ${\displaystyle S.}$ Element ${\displaystyle x}$ nazywa się elementem odwrotnym do ${\displaystyle y}$ jeżeli spełnione są dwa warunki:

1. ${\displaystyle x\;\diamondsuit \;y=e,}$
2. ${\displaystyle y\;\diamondsuit \;x=e,}$

gdzie ${\displaystyle e}$ oznacza element neutralny działania ${\displaystyle \diamondsuit .}$

Jeżeli działanie ${\displaystyle \diamondsuit }$ zapisywane jest za pomocą symboli ${\displaystyle +,\;\oplus ,\;\cup ,\;\lor ,}$ itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia ${\displaystyle -x.}$ Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: ${\displaystyle *,\;\cdot ,\;\otimes ,\;\cap ,\;\land ,\;\star ,}$ itp. i oznaczamy ${\displaystyle x^{-1}}$

Elementy jednostronne

Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. „Zwykły” element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.

Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.

W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.

Przykłady

• Niech ${\displaystyle \diamondsuit }$ będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby ${\displaystyle 2}$ jest liczba ${\displaystyle -2.}$ Mamy bowiem: ${\displaystyle 2+(-2)=0}$ oraz ${\displaystyle (-2)+2=0}$ (zero jest elementem neutralnym dodawania).
• Jeżeli ${\displaystyle \diamondsuit }$ jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby ${\displaystyle 2}$ jest liczba ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},}$ bo ${\displaystyle 2\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\cdot 2=1}$ (jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).

Ostatni przykład pokazuje, że nie każdy element musi mieć element odwrotny – liczba zero nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.