Eksponenta macierzy

Eksponenta macierzy – funkcja macierzowa zdefiniowana dla macierzy kwadratowych analogicznie jak klasyczna funkcja wykładnicza. Eksponentą macierzy rzeczywistej lub zespolonej ${\displaystyle X}$ wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ jest macierz wymiaru ${\displaystyle n\times n,}$ oznaczana jako ${\displaystyle e^{X}}$ albo ${\displaystyle \exp(X),}$ zadana przez szereg potęgowy:

${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,X^{k},}$

przy czym przyjmuje się:

• ${\displaystyle X^{0}=I,}$
• w szczególności ${\displaystyle 0^{0}=I,}$

gdzie:

• ${\displaystyle I}$ – macierz jednostkowa ${\displaystyle n\times n,}$
• ${\displaystyle 0}$ – macierz zerowa ${\displaystyle n\times n.}$

Twierdzenia I

Oznaczenia:

• ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ – dowolne macierze zespolone ${\displaystyle n\times n}$
• ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ – dowolne liczby zespolone

Twierdzenia:

(1) ${\displaystyle e^{0}=I}$

(2) ${\displaystyle e^{X^{T}}=(e^{X})^{T}}$

gdzie ${\displaystyle X^{T}}$ – macierz transponowana macierzy ${\displaystyle X}$

(3) ${\displaystyle e^{X^{\dagger }}=(e^{X})^{\dagger }}$

gdzie ${\displaystyle X^{\dagger }}$ – macierz hermitowsko sprzężona do macierzy ${\displaystyle X}$

(4) Jeżeli macierz ${\displaystyle Y}$ jest odwracalna, to ${\displaystyle e^{YXY^{-1}}=Ye^{X}Y^{-1}}$

(5) Jeżeli macierze ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ komutują (tzn. ich mnożenie jest przemienne, ${\displaystyle XY=YX}$), to

${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$

Z tw. (5) wynika, że

(6) ${\displaystyle e^{X}e^{-X}=e^{0}=I}$

(7) ${\displaystyle e^{aX}e^{bX}=e^{(a+b)X}}$

Twierdzenia II

(8) Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest macierzą symetryczną, to ${\displaystyle e^{X}}$ jest macierzą symetryczną.

(9) Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest macierzą antysymetryczną, to ${\displaystyle e^{X}}$ jest macierzą ortogonalną.

(10) Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest macierzą hermitowską, to ${\displaystyle e^{X}}$ jest macierzą hermitowską.

(11) Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest macierzą antyhermitowską, to ${\displaystyle e^{X}}$ jest macierzą unitarną.

Obliczanie eksponenty macierzy

Macierz diagonalna

Jeżeli macierz jest diagonalna

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&\ldots &0\\0&d_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &d_{n}\end{bmatrix}},}$

to

${\displaystyle e^{D}={\begin{bmatrix}e^{d_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{d_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{d_{n}}\end{bmatrix}}.}$

Macierz diagonalizowalna

Jeżeli macierz ${\displaystyle X}$ można przedstawić w postaci

${\displaystyle X=YDY^{-1},}$

gdzie ${\displaystyle D}$ – macierz diagonalna, to z tw. (4) wynika, że

${\displaystyle e^{X}=Ye^{D}Y^{-1}.}$

Tw. Liego o eksponencie sumy macierzy

Jeżeli ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ nie komutują, to można obliczyć eksponentę sumy tych macierzy, posługując się twierdzeniem Liego

${\displaystyle e^{X+Y}=\lim _{k\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.}$

Jeżeli użyje się dostatecznie dużej wartości ${\displaystyle k}$ (np. ${\displaystyle k=10^{6}}$), to otrzyma się dokładne przybliżenie, często używane w numerycznego obliczania ewolucji w czasie jednowymiarowych układów kwantowych o wielu cząstkach, gdyż wtedy

${\displaystyle e^{X+Y}\approx \left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.}$

Tw. Bakera-Campbelli-Hausdorffa

Gdy ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ są dostatecznie małe i niekoniecznie komutują, to

${\displaystyle e^{X}\cdot e^{Y}=e^{Z},}$

gdzie ${\displaystyle Z}$ jest nieskończonym szeregiem komutatorów, utworzonych z macierzy ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y,}$ zgodnie z tw. Bakera-Campbella-Hausdorffa(inne języki)

${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}{\big [}X,[X,Y]{\big ]}-{\frac {1}{12}}{\big [}Y,[X,Y]{\big ]}+\ldots ,}$

gdzie ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX,}$ itp. Pozostałe składniki szeregu stanowią bardziej złożone komutatory, zawierające ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y.}$

Jeżeli ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ komutują, tj. ${\displaystyle [X,Y]=0,}$ to wszystkie inne komutatory zerują się i otrzymuje się prosty wzór

${\displaystyle e^{X}\cdot e^{Y}=e^{X+Y}}$

Numeryczne liczenie eksponenty macierzy

Obliczanie eksponenty macierzy w ogólnym przypadku nie jest proste. Poniżej podano kod w języku python, służący do numerycznego obliczenia eksponenty macierzy, korzystający z biblioteki NumPy, dedykowanej do obliczeń na macierzach. NumPy zawiera funkcję expm, która oblicza eksponentę macierzy. Program można uruchomić, korzystając np. z darmowego notatnika colab google online, przy czym macierz do obliczeń zadaje się w linii 4 programu, podając kolejne jej wiersze. Poniższy kod liczy eksponentę macierzy ${\displaystyle 2\times 2,}$ ale łatwo go zmodyfikować do liczenia eksponenty macierzy ${\displaystyle n\times n.}$ Np. X = np. array([[1, 1, 1], [2, 1, 0], [3, 0,1]]) – macierz ${\displaystyle n\times n}$ z zapisanymi kolejnymi wierszami, zaczynając od wiersza 1-go.

import numpy as np
from scipy.linalg import expm

X = np.         array([[1, 0], [0, 1]])
expX = expm(X)

print(expX)

# Wynik
# [[2.71828183 0.        ]
# [0.         2.71828183]]

Przykłady

Macierze niekomutujące

Niech będą dane macierze

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}},\quad Y={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

Macierze te nie komutują ze sobą, gdyż:

${\displaystyle XY-YX={\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}}}$

Nie są więc spełnione założenia Tw. (5). Obliczając eksponenty ${\displaystyle A=e^{X}}$ oraz ${\displaystyle B=e^{Y}}$ (np. korzystając z kodu w python, podanego wyżej), a następnie mnożąc otrzymane macierze ${\displaystyle A,B}$ przez siebie otrzyma się:

${\displaystyle e^{X}e^{Y}={\begin{bmatrix}2{,}71828183&2{,}71828183\\0&7{,}3890561\end{bmatrix}}}$

zaś

${\displaystyle e^{X+Y}={\begin{bmatrix}2{,}71828183&4{,}67077427\\0&7{,}3890561\end{bmatrix}}}$

Widać, że tym wypadku ${\displaystyle e^{X}e^{Y}\neq e^{X+Y}.}$

Macierze komutujące

Niech będą dane macierze (tzw. macierze obrotu)

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{bmatrix}},\quad Y={\begin{bmatrix}\cos y&-\sin y\\\sin y&\cos y\end{bmatrix}}}$

Macierze te komutują ze sobą dla dowolnych kątów ${\displaystyle x,y,}$ tj. zawsze mamy:

${\displaystyle XY-YX={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

Z tw. (5) wynika, że w tym wypadku jest prawdą, że ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}.}$

Przykładowo, dla ${\displaystyle x=\pi /2,y=\pi /4}$ mamy

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad Y={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}}}$

Obliczając eksponenty ${\displaystyle A=e^{X}}$ oraz ${\displaystyle B=e^{Y}}$ (np. korzystając z kodu w python, podanego wyżej), a następnie mnożąc otrzymane macierze ${\displaystyle A,B}$ przez siebie, otrzymuje się:

${\displaystyle e^{X}\cdot e^{Y}={\begin{bmatrix}-0{,}27559796&-2{,}0093024\\-2{,}0093024&-0{,}27559796\end{bmatrix}}}$

Obliczając macierz ${\displaystyle C=X+Y,}$ a następnie jej eksponentę, otrzymuje się

${\displaystyle e^{X+Y}={\begin{bmatrix}-0{,}27559796&-2{,}0093024\\-2{,}0093024&-0{,}27559796\end{bmatrix}}}$

Widać, iż teraz ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}.}$

Zobacz też

• diagonalizacja macierzy
• macierz przejścia (automatyka)

Bibliografia

• Bellman R.E., Introduction to Matrix Analysis, 2nd ed., New York: McGraw-Hill, 1970.
• Moler C., van Loan C., „Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later”, SIAM Rev. 45, 3-49, 2003.
• Cohen-Tannoudji Claude, Diu Bernard, Laloe Frank, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Matrix Exponential, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-11].