Aksjomat podzbiorów

Aksjomat podzbiorów, aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla^[1]. Wprowadzony do pierwszej aksjomatyki teorii mnogości przez Zermela w roku 1908. W pierwotnej postaci wzbudzał wiele kontrowersji; współczesna postać pochodzi od Skolema.

Aksjomat stwierdza:

Dla danego predykatu P z jedną zmienną, niezawierającego symbolu B:

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall z:z\in B\iff z\in A\land P(z).}$

Czyli każde wskazanie elementów dowolnego zbioru A formułą P jest pewnym zbiorem (zawartym w A).

W istocie nie jest on jednym aksjomatem, lecz schematem aksjomatów, tzn. mamy do czynienia z nieskończonym zbiorem aksjomatów. Każdej formule odpowiada osobny aksjomat.

Zależność od pozostałych aksjomatów

Zdefiniujmy predykat funkcyjny ${\displaystyle F{:}}$

${\displaystyle F(x):={\begin{cases}\{x\},&{\mbox{gdy }}P(x),\\\varnothing ,&{\mbox{gdy }}\neg P(x).\end{cases}}}$

Aksjomat pary potwierdza istnienie zbioru ${\displaystyle \{x,x\}=\{x\},}$ natomiast zbiór ${\displaystyle \varnothing }$ wynika wprost z aksjomatu zbioru pustego, co dowodzi słuszności definicji predykatu. Zgodnie z aksjomatem zastępowania każdy predykat funkcyjny posiada swój obraz, co dowodzi istnienia rodziny zbiorów ${\displaystyle F[A],}$ z czego mocą aksjomatu sumy wynika istnienie zbioru ${\displaystyle B.}$

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of Subsets, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].