Cosinus og sinus på enhetssirkelen I matematikk er trigonometriske identiteter likheter som involverer trigonometriske funksjoner og er sanne for alle verdier av variablene. Geometrisk sett er disse identiteter som involverer bestemte funksjoner av en eller flere vinkler. Disse skiller seg fra trekantidentiteter, som er identiteter som involverer både vinkler og sidelengder i en trekant. Bare de førstnevnte dekkes av denne artikkelen.
Notasjon Vinkler Denne artikkelen bruker greske bokstaver slik som alfa, (α ), beta (β ), gamma (γ ) og theta (θ ) for å representere vinkler . Flere forskjellige vinkelmåleenheter er utbredt, heriblant grader, radianer og gon :
1 full sirkel = 360 grader = 2 π {\displaystyle \pi } Den følgende tabellen viser omregningene for noen vanlige vinkler:
Grader 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330° Radianer π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\!} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\!} 2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\!} 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\!} 7 π 6 {\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}\!} 4 π 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\!} 5 π 3 {\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}\!} 11 π 6 {\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}\!} Gon 33⅓ gon 66⅔ gon 133⅓ gon 166⅔ gon 233⅓ gon 266⅔ gon 333⅓ gon 366⅔ gon Grader 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° Radianer π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\!} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\!} 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\!} π {\displaystyle \pi \!} 5 π 4 {\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}\!} 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\!} 7 π 4 {\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}\!} 2 π {\displaystyle 2\pi \!} Gon 50 grad 100 gon 150 gon 200 gon 250 gon 300 gon 350 gon 400 gon
Med mindre annet er angitt, antas alle vinkler i denne artikkelen å være i radianer, men vinkler angitt med gradsymbol (°) er i grader.
Trigonometriske funksjoner De primære trigonometriske funksjonene er sinus og cosinus til en vinkel. Disse er noen ganger forkortet henholdsvis sin(θ ) og cos(θ ), der θ er vinkelen, men parentesene rundt vinkelen er ofte utelatt, f.eks. sin θ and cos θ .
Tangensfunksjonen (tan) til en vinkel er forholdet mellom sinus og cosinus:
tan θ = sin θ cos θ . {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.} Til slutt er de resiproke funksjonene secans (sec), cosecans (csc) og cotangens (cot) de resiproke av cosinus, sinus og tangens:
sec θ = 1 cos θ , csc θ = 1 sin θ , cot θ = 1 tan θ = cos θ sin θ . {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.} Inverse funksjoner De inverse trigonometriske funksjonene er delvise inverse funksjoner for de trigonometriske funksjonene. For eksempel er den inverse funksjonen for sinus kjent som invers sinus (sin−1 ) eller arcsinus (arcsin eller asin), og den tilfredsstiller
sin ( arcsin x ) = x {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\!} og
arcsin ( sin θ ) = θ for − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2. {\displaystyle \arcsin(\sin \theta )=\theta \quad {\text{for }}-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.} Denne artikkelen bruker følgende notasjon for inverse trigonometriske funksjoner:
Funksjon sin cos tan sec csc cot Invers arcsin arccos arctan arcsec arccsc arccot
Enhetsformelen Det grunnleggende forholdet mellom sinus og cosinus er enhetsformelen :
cos 2 θ + sin 2 θ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!} der sin2 θ betyr (sin(θ ))2 .
Dette kan betraktes som en versjon av Pythagoras' læresetning , og følger fra ligningen x 2 + y 2 = 1 for enhetssirkelen . Denne ligningen kan løses med hensyn på enten sinus eller cosinus:
sin θ = ± 1 − cos 2 θ og cos θ = ± 1 − sin 2 θ . {\displaystyle \sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad {\text{og}}\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\,} Relaterte identiteter Å dele enhetsformelen på enten cos2 θ eller sin2 θ gir to andre identiteter:
1 + tan 2 θ = sec 2 θ og 1 + cot 2 θ = csc 2 θ . {\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \quad {\text{og}}\quad 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta .\!} Dette kan også betraktes som versjoner av Pythagoras' læresetning, og følger fra ligningen 12 + x 2 = y 2 for enhetssirkelen. Disse ligningene kan løses med hensyn på tangens/secans, eller cotangens/cosecans
Ved å bruke disse identitetene sammen med forholdsidentitetene, er det mulig å uttrykke en hvilken som helst trigonometrisk funksjon ved en hvilken som helst annen:
Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.[1] uttrykt ved sin θ {\displaystyle \sin \theta \!} cos θ {\displaystyle \cos \theta \!} tan θ {\displaystyle \tan \theta \!} csc θ {\displaystyle \csc \theta \!} sec θ {\displaystyle \sec \theta \!} cot θ {\displaystyle \cot \theta \!} sin θ = {\displaystyle \sin \theta =\!} sin θ {\displaystyle \sin \theta \ } ± 1 − cos 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\!} ± tan θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!} 1 csc θ {\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}\!} ± sec 2 θ − 1 sec θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\!} ± 1 1 + cot 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!} cos θ = {\displaystyle \cos \theta =\!} ± 1 − sin 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\!} cos θ {\displaystyle \cos \theta \!} ± 1 1 + tan 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!} ± csc 2 θ − 1 csc θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!} 1 sec θ {\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}\!} ± cot θ 1 + cot 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!} tan θ = {\displaystyle \tan \theta =\!} ± sin θ 1 − sin 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!} ± 1 − cos 2 θ cos θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!} tan θ {\displaystyle \tan \theta \!} ± 1 csc 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!} ± sec 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!} 1 cot θ {\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}\!} csc θ = {\displaystyle \csc \theta =\!} 1 sin θ {\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}\!} ± 1 1 − cos 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!} ± 1 + tan 2 θ tan θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\!} csc θ {\displaystyle \csc \theta \!} ± sec θ sec 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!} ± 1 + cot 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\!} sec θ = {\displaystyle \sec \theta =\!} ± 1 1 − sin 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!} 1 cos θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\!} ± 1 + tan 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\!} ± csc θ csc 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!} sec θ {\displaystyle \sec \theta \!} ± 1 + cot 2 θ cot θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\!} cot θ = {\displaystyle \cot \theta =\!} ± 1 − sin 2 θ sin θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\!} ± cos θ 1 − cos 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!} 1 tan θ {\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}\!} ± csc 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!} ± 1 sec 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!} cot θ {\displaystyle \cot \theta \!}
Symmetri, forskyvninger og periodisitet Ved å undersøke enhetssirkelen, kan følgende egenskaper ved de trigonometriske funksjoner etableres.
Symmetri Når de trigonometriske funksjonene blir speilet om bestemte vinkler, er resultatet ofte en av de andre trigonometriske funksjonene. Dette fører til de følgende identiteter:
Speilet om θ = 0 {\displaystyle \theta =0} [2] Speilet om θ = π / 4 {\displaystyle \theta =\pi /4} [3] Speilet om θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} sin ( − θ ) = − sin θ cos ( − θ ) = + cos θ tan ( − θ ) = − tan θ csc ( − θ ) = − csc θ sec ( − θ ) = + sec θ cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}} sin ( π 2 − θ ) = + cos θ cos ( π 2 − θ ) = + sin θ tan ( π 2 − θ ) = + cot θ csc ( π 2 − θ ) = + sec θ sec ( π 2 − θ ) = + csc θ cot ( π 2 − θ ) = + tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}} sin ( π − θ ) = + sin θ cos ( π − θ ) = − cos θ tan ( π − θ ) = − tan θ csc ( π − θ ) = + csc θ sec ( π − θ ) = − sec θ cot ( π − θ ) = − cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}}
Forskyvninger og periodisitet Ved å forskyve funksjonen med bestemte vinkler, er det ofte mulig å finne forskjellige trigonometriske funksjoner som uttrykker resultatet enklere. Noen eksempler på dette vises ved å forskyve funksjonene med π/2, π og 2π radianer. Fordi disse periodene er enten π eller 2π er det tilfeller der den nye funksjonen er eksakt den samme som den gamle funksjonen uten forskyvning.
Forskjøvet med π/2 Forskjøvet med π [4] Forskjøvet med 2π [5] sin ( θ + π 2 ) = + cos θ cos ( θ + π 2 ) = − sin θ tan ( θ + π 2 ) = − cot θ csc ( θ + π 2 ) = + sec θ sec ( θ + π 2 ) = − csc θ cot ( θ + π 2 ) = − tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}} sin ( θ + π ) = − sin θ cos ( θ + π ) = − cos θ tan ( θ + π ) = + tan θ csc ( θ + π ) = − csc θ sec ( θ + π ) = − sec θ cot ( θ + π ) = + cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}} sin ( θ + 2 π ) = + sin θ cos ( θ + 2 π ) = + cos θ tan ( θ + 2 π ) = + tan θ csc ( θ + 2 π ) = + csc θ sec ( θ + 2 π ) = + sec θ cot ( θ + 2 π ) = + cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}}
Identiteter for vinkelsummer og differanser Disse ble opprinnelig etablert av den persiske matematikeren Abū al-Wafā' Būzjānī i det 10. århundre. En måte å bevise disse identitene på er å bruke Eulers formel . Bruken av symbolene ± {\displaystyle \pm } ∓ {\displaystyle \mp } pluss/minus-tegn .
Sinus sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β {\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!} [6] [7] Cosinus cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,} [7] [8] Tangens tan ( α ± β ) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β {\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}} [7] [9] Cotangens cot ( α ± β ) = cot α cot β ∓ 1 cot β ± cot α {\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}} Arcsinus arcsin α ± arcsin β = arcsin ( α 1 − β 2 ± β 1 − α 2 ) {\displaystyle \arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})} [10] Arccosinus arccos α ± arccos β = arccos ( α β ∓ ( 1 − α 2 ) ( 1 − β 2 ) ) {\displaystyle \arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})} [11] Arctangens arctan α ± arctan β = arctan ( α ± β 1 ∓ α β ) {\displaystyle \arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)} [12] Arccotangens arccot x ± arccot y = arccot ( x y ∓ 1 y ± x ) {\displaystyle \operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)}
Formler for multiple vinkler Formler for dobbelte, triple og halve vinkler Disse kan vises ved å bruke enten sum- eller differanseidentitetene eller formler for multiple vinkler.
Formler for dobbelte vinkler[13] [14] sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 tan θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}} cos 2 θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ = 1 − tan 2 θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}} tan 2 θ = 2 tan θ 1 − tan 2 θ {\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\!} cot 2 θ = cot 2 θ − 1 2 cot θ {\displaystyle \cot 2\theta ={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\!} Formler for triple vinkler[15] [16] sin 3 θ = 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ = 3 sin θ − 4 sin 3 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 3\theta &=3\cos ^{2}\theta \sin \theta -\sin ^{3}\theta \\&=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \end{aligned}}} cos 3 θ = cos 3 θ − 3 sin 2 θ cos θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 3\theta &=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}} tan 3 θ = 3 tan θ − tan 3 θ 1 − 3 tan 2 θ {\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}\!} cot 3 θ = 3 cot θ − cot 3 θ 1 − 3 cot 2 θ {\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\!} Formler for halve vinkler[17] [18] sin θ 2 = ± 1 − cos θ 2 {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}} cos θ 2 = ± 1 + cos θ 2 {\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}} tan θ 2 = csc θ − cot θ = ± 1 − cos θ 1 + cos θ = sin θ 1 + cos θ = 1 − cos θ sin θ tan η + θ 2 = sin η + sin θ cos η + cos θ tan ( θ 2 + π 4 ) = sec θ + tan θ 1 − sin θ 1 + sin θ = 1 − tan ( θ / 2 ) 1 + tan ( θ / 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}\end{aligned}}} cot θ 2 = csc θ + cot θ = ± 1 + cos θ 1 − cos θ = sin θ 1 − cos θ = 1 + cos θ sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}
Se også Fotnoter ^ Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45 ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15 ^ «The Elementary Identities». Arkivert fra originalen 30. juli 2017. Besøkt 15. juni 2011 . ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9 ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8 ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16 ^ a b c (en) Eric W. Weisstein , Trigonometric Addition Formulas i MathWorld .^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17 ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18 ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42 ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43 ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36 ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26 ^ (en) Eric W. Weisstein , Double-Angle Formulas i MathWorld .^ (en) Eric W. Weisstein , Multiple-Angle Formulas i MathWorld .^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28 ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22 ^ (en) Eric W. Weisstein , Half-Angle Formulas i MathWorld . Referanser Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., red. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. Eksterne lenker Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°, and for the same angles Csc and Sec and Tan. Autoritetsdata
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326123dd3bf35559b5dea3da4eff40ec130dc972)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66db927cd35c6e8d6a398351ed37ba7ce9e8c031)
