Rekenkundig getal

Een natuurlijk getal ${\displaystyle n}$ heet een rekenkundig getal als het rekenkundig gemiddelde van zijn delers een geheel getal is.

Het rekenkundig gemiddelde van de delers van ${\displaystyle n}$ noemt men de rekenkundige functie ${\displaystyle A(n)}$:

${\displaystyle A(n)={\frac {\sigma (n)}{d(n)}}}$

Hierin is ${\displaystyle \sigma (n)}$ de som van alle positieve delers van ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle d(n)}$ het aantal positieve delers van ${\displaystyle n}$. Als ${\displaystyle A(n)}$ een geheel getal is, dus als ${\displaystyle d(n)}$ een deler is van ${\displaystyle \sigma (n)}$, heet ${\displaystyle n}$ een rekenkundig getal.

Voorbeeld: 14 heeft als delers 1, 2, 7 en 14. Het rekenkundig gemiddelde daarvan is (1+2+7+14)/4 = 6, dus 14 is een rekenkundig getal. Het getal 12 is geen rekenkundig getal, want de som van de delers van 12 is 1+2+3+4+6+12 = 28 en het gemiddelde 28/6 is geen geheel getal.

De eerste rekenkundige getallen zijn:

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, ...^[1]

De functie ${\displaystyle A(n)}$ is een multiplicatieve functie. Immers ${\displaystyle \sigma (n)}$ en ${\displaystyle d(n)}$ zijn beide multiplicatieve functies. Hieruit volgt dat als twee rekenkundige getallen relatief priem zijn, hun product ook een rekenkundig getal is.

Elk oneven priemgetal ${\displaystyle p}$ is een rekenkundig getal; immers de delers ervan zijn 1 en ${\displaystyle p}$, en ${\displaystyle A(p)=(p+1)/2}$ is een geheel getal omdat ${\displaystyle p+1}$ een even getal is. 2 is geen rekenkundig getal en ook geen enkele macht van 2 is een rekenkundig getal.^[2]

De asymptotische dichtheid van de verzameling van rekenkundige getallen is gelijk aan 1.^[3]

Voor elk getal ${\displaystyle N}$ bestaat er een geheel getal ${\displaystyle m}$, zodanig datde vergelijking ${\displaystyle A(n)=m}$ ten minste ${\displaystyle N}$ oplossingen heeft.^[3]