Reeks (wiskunde)

Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt genoteerd als een uitdrukking van de vorm^[1]

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$

Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eenduidig verband tussen de rijen termen uit die ruimte, en de reeksen.

De eventuele uitkomst ${\displaystyle S}$ van de sommatie wordt, uitgedrukt in de termen van de reeks, hetzelfde genoteerd als de reeks, dus

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$

Soms wordt ook bij een eindig aantal termen wel de aanduiding reeks gebruikt, bijvoorbeeld rekenkundige reeks bij de sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij.

Terminologie

De term 'reeks' in de bovengenoemde betekenis is specifiek voor de analyse en toepassingen daarvan. In het dagelijkse spraakgebruik en in andere disciplines is 'reeks' synoniem met 'rij', evenals in oudere wiskundeliteratuur.^[2][3][4]

Definitie

Voor iedere rij ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som^[5][6][7]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots \,\,\,}$ ^[8]

De elementen van de rij zijn de termen van de reeks.

Partiële som

De som ${\displaystyle s_{n}}$ van de eerste ${\displaystyle n}$ termen van de rij ${\displaystyle (a_{i})_{i=1}^{\infty }}$ wordt partiële som of ook wel partieelsom genoemd:

${\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

Als de rij van partiële sommen convergeert, schrijft men voor de limiet:

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Alternatieve definitie van 'Reeks'

Een 'reeks' wordt ook wel formeel gedefinieerd als een bepaalde combinatie van een rij ${\displaystyle (a_{n})}$ en de rij ${\displaystyle (s_{n})}$ van zijn partiële sommen, bijvoorbeeld ${\displaystyle ((a_{n},s_{n}))_{n=1}^{\infty }}$.

Convergentie

Voor reeksen met termen in een gegeven metrische ruimte (met optelling), is het zinvol het bestaan van de som te onderzoeken.

Een reeks heet convergent als de rij der partiële sommen convergeert naar een eindige limiet ${\displaystyle S}$. In dat geval noemt men ${\displaystyle S}$ de som van de reeks:

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}a_{n}}$

Als de rij der partiële sommen convergeert, moet de rij der afzonderlijke termen ${\displaystyle a_{n}}$ convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: een reeks waarvan de termen convergeren naar 0, kan nog steeds divergent (niet convergent ) zijn; zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.

Absolute convergentie

We beperken ons nu tot reeksen waarvan de termen reële getallen zijn.

Een reeks heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen ${\displaystyle a_{i}}$ op hun beurt de bouwstenen zijn van een convergente reeks.

In formulevorm: de reeks ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ heet absoluut convergent als de reeks ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|}$ een convergente reeks is.

Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente reeks die niet absoluut convergent is (een voorwaardelijk convergente reeks), geldt dit helemaal niet. Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.

Geometrische of meetkundige reeks

De reeks voortgebracht door de machten van een getal ${\displaystyle a}$ met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:

${\displaystyle 1+a+a^{2}+a^{3}+\ldots ={\frac {1}{1-a}}}$

Dit is als volgt te bewijzen:

${\displaystyle s_{n}=1+a+a^{2}+a^{3}+\ldots +a^{n},|a|<1}$

${\displaystyle as_{n}=a+a^{2}+a^{3}+a^{4}+\ldots +a^{n+1}}$

${\displaystyle s_{n}-as_{n}=1-a^{n+1}}$

${\displaystyle s_{n}(1-a)=1-a^{n+1}}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}}$

${\displaystyle S=\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}={\frac {1}{1-a}}}$

Zie ook, meer algemeen, meetkundige reeks.

Harmonische reeks

De harmonische rij is in de wiskunde de rij

${\displaystyle 1,\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {1}{3}},\ {\frac {1}{4}},\ {\frac {1}{5}},\ldots }$,

dus met algemene term ${\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{n}}}$.

Het is een van de eenvoudigste rijen met de eigenschap ${\displaystyle a_{n}=O(1/n)}$ (zie grote-O-notatie), dus de eigenschap dat ${\displaystyle na_{n}}$ begrensd is.

De bijbehorende harmonische reeks

${\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}$

is divergent.

De reeks ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ is voor grote ${\displaystyle n}$ bij benadering gelijk aan ${\displaystyle \ln(n)}$: beide gaan naar oneindig, maar het verschil heeft als limiet de constante van Euler-Mascheroni.

Hyperharmonische reeks

Een hyperharmonische reeks is een reeks van de vorm

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{p}}}+{\frac {1}{3^{p}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{p}}}}$

waarin ${\displaystyle p\in \mathbb {R} }$.

De volgende gevallen kunnen onderscheiden worden:

1. Als ${\displaystyle p=1}$: harmonische reeks, divergent
2. Als ${\displaystyle p<1}$: hyperharmonische reeks, divergent
3. Als ${\displaystyle p>1}$: hyperharmonische reeks, convergent

Alternerende reeks

Bij een alternerende reeks wisselen de termen elke keer van teken. Een alternerende reeks, waarvan de absolute waarde van de algemene term convergeert naar nul en elke term in absolute waarde niet groter is dan zijn voorganger, is convergent.

De reeks ${\displaystyle \sum {\tfrac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ is convergent, maar niet absoluut convergent:

${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+\ldots =\ln(2)}$

Deze reeks heet alternerende harmonische reeks.

Andere typen reeksen

Andere typen reeksen zijn onder andere:

• Binomiaalreeks
• Machtreeks
• Taylorreeks
• Kansgenererende functie
• Z-transformatie

Voorbeelden

Voorbeelden van reeksen die een relatie hebben met het getal ${\displaystyle \pi }$.

Van Leonhard Euler zijn de reeksen:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

en

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(2n+1\right)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

Van Gottfried Wilhelm von Leibniz zijn de reeksen:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots ={\frac {\pi }{4}}}$

en

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2n+1)^{2}}}-{\frac {1}{(2n+2)^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

Zie ook

• Constante van Euler
• Reeksontwikkeling

Bronnen, noten en/of referenties ↑ R. Kronig, Leerboek der Natuurkunde, 5e druk, p.15 ↑ Oosthoeks Encyclopedie, 6e druk, 1968- ↑ In Nederlandse schoolboeken is die verschuiving in de naamkeuze (vanaf omstreeks 1960) goed zichtbaar. ↑ S. Schwartzmann, The Words of Mathematics (1994). Pag.196: "In older usage, series sometimes meant what we would now call a sequence; for example, the Fibonacci 'series' is actually a sequence." ↑ Sequences and Series of Complex Numbers, mathonline.wikidot.com ↑ Infinite Sequences and Series, courses.lumenlearning.com ↑ Infinite Sequences and Series, pag. 8, www.wileyindia.com ↑ Zie bijvoorbeeld: Yu.A. Kuznetsov & J. Stienstra (2009) Fouriertheorie, pagina 9, regel 13 PDF.