In de getaltheorie is de aliquotrij van een natuurlijk getal een rij getallen die begint met dat getal en waarvan verder elk getal de aliquotsom is van het getal dat in die rij eraan vooraf gaat.[1]
- Voorbeelden
- Is , dan is, met als functie die de aliquotsom van geeft:[2]
- , enz.
- De aliquotrij van het getal is dan: .
- Is , dan is:
- De aliquotrij van is dan: .
De aliquotrij van een willekeurig natuurlijk getal kan, op basis van bovenstaande definitie, worden geschreven als:
Of, recursief gedefinieerd met als algemene term van de rij:
Onderdeel van deze definitie is toegevoegd, opdat de rijen die met een zouden eindigen, dan doorlopen met .[3]
Eigenschappen
- Veel aliquot-rijen eindigen met , omdat de op twee na laatste term in zo’n rij een priemgetal is (dat per definitie alleen als echte deler heeft). De eerste vijfendertig getallen met die eigenschap zijn:[4]
- De aliquotrij van een perfect getal (zoals de getallen en ) eindigt niet, maar repeteert:
- De aliquotrij van een bevriend getal is eveneens repeterend. Immers, als de getallen en bevriend zijn, dan is per definitie en . De aliquotrij van is dan:
- Er zijn ook aliquot-rijen die repeteren zonder dat het startgetal een perfect of een bevriend getal is.
- Voorbeeld. Voor is:
- , enz.
- De aliquotrij van is dan: .
Vermoeden van Catalan-Dickson
In 1888 formuleerde de Belgische wiskundige Catalan (1814-1894) het volgende vermoeden omtrent aliquot-rijen:
- Elke aliquotrij eindigt met een priemgetal of met een perfect getal.
In 1913 is dit vermoeden aangescherpt door Dickson (1874-1954) tot:[5]
- Elke aliquotrij eindigt met een priemgetal of met een perfect getal, of gaat over in een repeterende rij.
Het blijft nog steeds bij een vermoeden omdat van enkele getallen niet bekend is hoe ze eindigen. Dit zijn onder meer de zogenoemde Vijf van Lehmer: 276, 552, 564, 660 en 966.[6]
Zie ook
- Aliquot
- Rekenkundige functie
Externe links
- (en) E.W. Weisstein: Aliquot Sequence. Op: MathWorld—A Wolfram Web Resource
- (en) Examples of aliquote sequences. Op: PlanetMath.org
- (en) R.K. Guy, J.L. Selfridge (1974): What drives an aliquot sequence? In: Mathematics of Computation, vol. 29, nr. 129; pp. 101–107.
Bronnen - D. Wells (1986): Woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen. Amsterdam: Uitgeverij Bert Bakker; pp. 166-167.
- F. Beukers (1998): Getaltheorie. Utrecht: Epsilon Uitgaven; pp. 32-39.
- (fr) J.P. Delahaye (2002): Nombres aimables et suites aliquotes. In: Pour la science, no. 292; pp. 98-103.
- M. Looijen (2015): Over getallen gesproken. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e druk (2016); pp. 112-113.
Noten - ↑ Het woord aliquot wordt hier gebruikt als een (niet-verbogen) bijvoeglijk naamwoord.
- ↑ De aliquotsom van een getal is gelijk aan de som van de echte delers van dat getal. Per definitie is .
- ↑ De regel die in de recursieve definitie is aangegeven met , kan zonder problemen worden weggelaten.
- ↑ Zie rij: A08907 - Numbers whose aliquot sequences terminates in 1 (or 0). Op: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ L.E. Dickson (1913): Theorem and tables on the sums of divisors of a number. In: The Quarterly Journal of Mathematics, vol. 44; pp. 264-296.
- ↑ (en) M. Benito, J.L. Varona (1998): Advances in aliquot sequences. In: Mathematics Of Computation, vol. 68, nr. 25; pp. 389-393. Gearchiveerd op 22 juli 2018.
|