Achthoek

In de wiskunde is een achthoek (Gr. octagon) een veelhoek met acht zijden en acht hoeken.

De som van alle (binnen)hoeken ${\displaystyle \alpha _{k}}$ van een achthoek bedraagt 1080°, zoals volgt uit de formule voor de som van de hoeken in een veelhoek. Voor ${\displaystyle n=8}$ wordt dit::

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}=(n-2)\cdot 180^{\circ }=6\times 180^{\circ }=1080^{\circ }}$

Verschillende soorten achthoeken

regelmatige achthoek	onregelmatig achthoek	concave achthoek	complexe achthoek

Regelmatige achthoek

Van een regelmatige achthoek zijn alle zijden gelijk en zijn alle binnenhoeken gelijk aan 135°. Er geldt immers voor elke hoek ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\tfrac {3}{4}}\cdot 180^{\circ }=135^{\circ }}$

Voor de oppervlakte van een regelmatige achthoek met een zijde van lengte ${\displaystyle a}$ geldt:

${\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4{,}82843\,a^{2}}$

De lengte ${\displaystyle a}$ kan als volgt worden afgeleid van de diameter ${\displaystyle D}$:

${\displaystyle a\cdot \cos 45^{\circ }+a+a\cdot \cos 45^{\circ }=D}$

${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}+a+a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}=D}$

${\displaystyle a\cdot ({\sqrt {2}}+1)=D\Rightarrow a={\frac {D}{({\sqrt {2}}+1)}}\Rightarrow a\simeq {\frac {D}{2{,}41421}}}$

Constructie

De constructie van een regelmatige achthoek gaat met behulp van een liniaal en een passer, in 18 stappen:

Zie ook

• Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoeken
• Octagon Museum, een historisch gebouw en klein museum op Curaçao

Zie de categorie Octagons van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.