Keluk puas sama

Keluk puas sama ialah satu graf yang menunjukkan gabungan barang-barang yang pengguna tidak ambil peduli atau berasa puas sama, iaitu dia tidak mempunyai keutamaan untuk satu gabungan berbanding yang lain kerana gabungan-gabungan ini memberikan tahap kepuasan yang sama kepada pengguna. Keluk puas sama ialah satu alat yang digunakan untuk menggambarkan keutamaan dan digunakan dalam teori pilihan.

Sejarah

Teori keluk puasa sama diperkembangkan oleh Francis Ysidro Edgeworth, Vilfredo Pareto, serta orang-orang yang lain dalam bahagian pertama abad ke-20. Teori ini berasal daripada teori utiliti ordinal yang menganjurkan bahawa seseorang sentiasa boleh memeringkatkan dua longgokan penggunaan mengikut keutamaan.

Hubungan Keutamaan dan Utiliti

Teori pilihan menggambarkan pengguna-pengguna secara formal melalui hubungan keutamaan, dan menggunakan gambaran ini untuk menerbitkan keluk-keluk puas sama.

Gagasan untuk keluk puas sama adalah sesuatu yang terus terang. Jika seseorang pengguna tidak mengambil peduli dan berasa puas sama tentang sebiji epal dan sebiji pisang, dua biji epal dan dua biji pisang, atau lima biji epal dan sebiji pisang, kesemua gabungan ini terletak dalam keluk puas sama yang sama.

Hubungan Keutamaan

Katakanlah set-set pilihan yang seseorang pengguna boleh memilih dipanggil ${\displaystyle A\;}$. Lambangkan unsur generik ${\displaystyle A\;}$ dengan ${\displaystyle a\;}$ atau ${\displaystyle b\;}$. Dalam bahasa yang digunakan untuk contoh tersebut, set ${\displaystyle A\;}$ terdiri daripada gabungan-gabungan epal dan pisang. Simbol ${\displaystyle a\;}$ ialah salah satu gabungan, umpamanya sebiji epal dan empat biji pisang, dan ${\displaystyle b\;}$ ialah lagi satu gabungan, umpamanya dua biji epal dan dua biji pisang.

Hubungan keutamaan yang dilambangkan dengan ${\displaystyle \geq }$ ialah hubungan dedua yang ditakrifkan pada set ${\displaystyle A\;}$.

Kenyataan

${\displaystyle a\geq b\;}$

difahami sebagai "${\displaystyle a\;}$ diutamakan secara lemah berbanding ${\displaystyle b\;}$".

Kenyataan

${\displaystyle a\sim b\;}$

difahami sebagai "${\displaystyle a\;}$ diutamakan secara lemah berbanding ${\displaystyle b\;}$, dan ${\displaystyle b\;}$ diutamakan secara lemah berbanding ${\displaystyle a\;}$.' Kita mengatakan bahawa '${\displaystyle a\;}$ adah puas sama dengan ${\displaystyle b\;}$".

Kenyataan

${\displaystyle a>b\;}$

difahami sebagai "${\displaystyle a\;}$ diutamakan secara lemah berbanding ${\displaystyle b\;}$, tetapi ${\displaystyle b\;}$ tidak diutamakan secara lemah berbanding ${\displaystyle a\;}$". Kita mengatakan bahawa '${\displaystyle a\;}$ betul-betul diutamakan berbanding ${\displaystyle b\;}$.

Hubungan keutamaan ${\displaystyle \geq }$ adalah lengkap jika semua pasang ${\displaystyle a,b\;}$ dapat diperingkatkan. Hubungan ini merupakan hubungan transitif jika ketika ${\displaystyle a\geq b\;}$ dan ${\displaystyle b\geq c,\;}$, maka ${\displaystyle a\geq c\;}$.

Pertimbangkanlah satu unsur khusus dalam set ${\displaystyle A\;}$, umpamanya ${\displaystyle a_{0}\;}$. Kalau kita membina satu senarai untuk kesemua unsur yang lain bagi ${\displaystyle A\;}$ yang puas sama terhadap ${\displaystyle a_{0}\;}$ dari segi pengguna. Lambangkanlah unsur pertama dalam senarai ini dengan ${\displaystyle a_{1}\;}$, unsur kedua dengan ${\displaystyle a_{2}\;}$ dan sebagainya. Set ${\displaystyle \{a_{i}:i\geq 0\}}$ akan membentuk satu keluk puas sama disebabkan ${\displaystyle a_{i}\sim a_{j}\;}$ untuk semua ${\displaystyle i,j\geq 0\;}$.

Kaitan formal dengan teori utiliti

Dalam contoh di atas, satu unsur ${\displaystyle a\;}$ bagi set ${\displaystyle A\;}$ terdiri daripada dua nombor, iaitu bilangan epal yang digelarkan ${\displaystyle x,\;}$, dan bilangan pisang yang digelarkan ${\displaystyle y.\;}$

Teori utiliti menganjurkan bahawa ketika ejen-ejen dapat memeringkatkan semua pasang longgokan penggunaan mengikut susunan keutamaan (pemeringkatan ini adalah satu hubungan transitif), satu fungsi utiliti akan dihasilkan. Ini bermakna bahawa bagi setiap longgokan ${\displaystyle \left(x,y\right)}$, terdapat satu nombor yang unik, ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$, yang melambangkan tahap utiliti (kepuasan) yang mengaitkan ${\displaystyle \left(x,y\right)}$.

Hubungan ${\displaystyle \left(x,y\right)\to U\left(x,y\right)}$ dipanggil fungsi utiliti. Julat fungsi ialah garis yang benar. Nilai fungsi yang sebenar tidak mempunyai sebarang makna. Hanya pemeringkatan nilai-nilai itu mempunyai kandungan untuk teori ini. Secara lebih tepat, ketika ${\displaystyle U(x,y)\geq U(x',y')}$, jadi longgokan ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ dianggap sekurang-kurangnya sama baik dengan longgokan ${\displaystyle \left(x',y'\right)}$. Ketika ${\displaystyle U\left(x,y\right)>U\left(x',y'\right)}$, jadi longgokan ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ betul-betul lebih diutamakan berbanding longgokan ${\displaystyle \left(x',y'\right)}$.

Pertimbangkanlah satu longgokan yang khusus, ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$, dan ambillah jumlah terbitan ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$ di titik ini:

${\displaystyle dU\left(x_{0},y_{0}\right)=U_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)dx+U_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)dy}$

dengan ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)}$ merupakan terbitan separa untuk ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$ berhubung dengan hujah pertama yang dinilaikan pada ${\displaystyle \left(x,y\right)}$. (Begitu juga untuk ${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right).}$)

Keluk puas sama yang melintasi ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ harus selalu memberikan utiliti longgokan ini, iaitu ${\displaystyle U\left(x_{0},y_{0}\right)}$. Dengan perkataan yang lain, jika seseorang menukarkan jumlah ${\displaystyle x\,}$ sebanyak ${\displaystyle dx\,}$, dia harus juga menukarkan jumlah ${\displaystyle y\,}$ sebanyak ${\displaystyle dy\,}$ supaya pada akhirnya, tidak terdapat sebarang perubahan pada ${\displaystyle U\,}$, iaitu ${\displaystyle dU=0\,}$. Persamaan jumlah terbitan menetapkan bahawa:

${\displaystyle dU\left(x_{0},y_{0}\right)=0\Leftrightarrow {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {U_{2}(x_{0},y_{0})}{U_{1}(x_{0},y_{0})}}}$

Oleh itu, nisbah utiliti sut memberikan kecerunan keluk puas sama di titik ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$. Nisbah ini dipanggil kadar penggantian sut antara ${\displaystyle x\,}$ dan ${\displaystyle y\,}$.

Contoh

Utiliti linear

Jika fungsi utiliti adalah dalam bentuk ${\displaystyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$, jadi utilti sut untuk ${\displaystyle x\,}$ ialah ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)=\alpha }$ dan utiliti sut untuk ${\displaystyle y\,}$ ialah ${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right)=\beta }$. Oleh sebab itu, kecerunan keluk puas sama ialah:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {\beta }{\alpha }}.}$

Perhatikanlah bahawa kecerunan tidak bergantung kepada ${\displaystyle x\,}$ atau ${\displaystyle y\,}$: Keluk-keluk puas sama ialah garis-garis lurus.

Utiliti Cobb-Douglas

Jika fungsi utiliti adalah dalam bentuk ${\displaystyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha }}$, utiliti sut untuk ${\displaystyle x\,}$ ialah ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)=\alpha \left(x/y\right)^{\alpha -1}}$ dan utiliti sut untuk ${\displaystyle y\,}$ ialah ${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right)=(1-\alpha )\left(x/y\right)^{\alpha }}$. Kadar penggantian sut dan oleh itu, kecerunan keluk puasa sama ialah:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right).}$

Utiliti CES

Bentuk CES (Keanjalan penggantian malar) yang umum ialah:

${\displaystyle U(x,y)=\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{1/\rho }}$

dengan ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ dan ${\displaystyle \rho \leq 1}$. (Cobb-Douglas merupakan satu kes yang khusus untuk utiliti CES, dengan ${\displaystyle \rho =0\,}$.) Utiliti-utiliti sut diberikan oleh:

${\displaystyle U_{1}(x,y)=\alpha \left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{1/\rho -1}x^{\rho -1}}$

dan

${\displaystyle U_{2}(x,y)=(1-\alpha )\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{1/\rho -1}y^{\rho -1}.}$

Oleh itu, di sepanjang keluk puas sama:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right)^{1-\rho }.}$

Sifat keluk puas sama

Keluk-keluk puas sama biasanya dianggap mempunyai ciri-ciri yang berikut:

• Sebuah keluk puas sama mencerun dari kiri ke kanan (cerun negatif). Cerun negatif adalah disebabkan oleh kenaikan permintaan satu barangan (X) dan keturunan permintaan satu barangan yang lain (Y) (kesudahan daripada hukum utiliti sut berkurangan Y) yang diperlukan untuk memeliharakan jumlah kepuasan.

• Keluk-keluk puas sama tidak bersilang kerana ini akan bermaksud bahawa satu gabungan yang terdiri daripada dua barangan akan memberikan dua tahap kepuasan yang berbeza, iaitu sesuatu yang tidak mungkin. Ini juga merupakan kesudahan daripada andaian bahawa hubungan keutamaan adalah transitif.

• Keluk-keluk puas sama ini adalah cembung, iaitu satu kesudahan daripada andaian bahawa ketika seorang pengguna mempunyai semakin kurang satu barangan, mereka akan memerlukan lebih banyak barangan yang lain untuk menggantikannya (secocok dengan hukum utiliti sut berkurangan}.

• Keluk-keluk puas sama sentiasa ada di seluruh peta puas sama. Dengan kata yang lain, terdapat keluk puas sama di mana-mana satu titik yang diberikan dalam peta puas sama.

Peta puas sama

Terdapat banyak keluk-keluk puas sama. Bagi setiap pasang barangan, terdapat hanya satu keluk puas sama (keluk-keluk puas sama tidak bersilang). Setiap pasang barangan yang berbeza menghasilkan tahap utiliti yang berbeza dan akan dikaitkan dengan keluk puas sama tersendiri. Senarai untuk keluk-keluk puas sama bagi tahap-tahap utiliti yang berbeza dipanggil Peta Puas Sama. Seseorang pengguna yang rasional akan mengutamakan keluk-keluk puas sama yang lebih tinggi, iaitu yang terletak di paling kanan kerana keluk-keluk ini mewakili gabungan-gabungan yang memberikan tahap-tahap utiliti yang lebih tinggi.

Oleh sebab keluk puas sama memerihalkan satu set keutamaan peribadi, keluk ini akan berbeza-beza dari seorang ke seorang.

Andaian

Ketiga-tiga andaian pertama yang berikut adalah wajib, sedangkan kedua-dua yang berikutnya (iaitu andaian 4 & 5) adalah hanya untuk pemudahan sahaja:

Kerasionalan: Pengguna-pengguna mengetahui keutamaan sendiri dan boleh memilih antara longgokan penggunaan X dan longgokan penggunaan Y. Mereka mengetahui X harus diutamakan berbanding Y, Y harus diutamakan berbanding X, atau mereka tidak kisah antara X dan Y.

Ketekalan: Jika seseorang pengguna mula-mulanya memilih longgokan penggunaan X berbanding longgokan penggunaan Y, jadi dia tidak boleh kemudiannya memilih longgokan penggunaan Y.

Ketransitifan: Jika seseorang pengguna mengutamakan longgokan penggunaan X berbanding longgokan penggunaan Y, serta mengutamakan longgokan Y berbanding longgokan penggunaan Z, jadi dia harus mengutamakan longgokan penggunaan X berbanding longgokan penggunaan Z.

Kesinambungan: Ini bermaksud bahawa seseorang pengguna tidak dihadkan jumlah penggunaan sesuatu barangan. Umpamanya, saya boleh minum 11 mililiter air soda, 12 mililiter, atau 132 mililiter. Saya tidak dihadkan hanya kepada pilihan meminum 2 liter atau langsung tidak boleh minum. Sila lihat juga: Fungsi selanjar dalam matematik.

Ketakpuasan: Ini berdasarkan fakta bahawa lebih banyak barangan adalah sentiasa diutamakan berbanding dengan kurang barangan.

Kecembungan: Nilai sut yang seseorang mendapat daripada setiap barangan akan jatuh berbanding barangan yang lain. Dalam sebuah dunia yang hanya terdiri daripada dua barangan, jika seorang pengguna mempunyai jumlah yang banyak untuk satu barangan, dia akan berasa lagi gembira dengan kurang sedikit barangan itu, jika diberikan lebih sedikit barangan yang lain.

Contoh keluk puas sama

Di bawah adalah sebuah peta puasa sama yang mempunyai tiga keluk puas sama:

Pengguna-pengguna akan lebih suka berada dalam keluk I3 berbanding keluk I2, dan dalam keluk I2 berbanding keluk I1, tetapi tidak kisah tentang di mana mereka berada dalam setiap keluk puas sama. Cerun untuk sesuatu keluk, dikenali sebagai kadar penggantian sut, menunjukkan kadar yang mana pengguna-pengguna sanggup menggantikan satu barangan dengan barangan yang lain. Untuk kebanyakan barangan, kadar penggantian sut tidak malar dan oleh itu, keluk-keluknya melengkung. Keluk-keluknya cembung menujui titik asal dan menunjukkan kadar penggantian sut berkurangan.

Jika barangan-barang merupakan penganti-pengganti sempurna, jadi keluk-keluk puas sama merupakan garis-garis selari kerana pengguna itu akan bersedia untuk bertukar barangan dengan nisbah yang tetap. Kadar penggantian sutnya adalah malar.

Jika barangan-barangan merupakan pelengkap-pelengkap sempurna, jadi keluk-keluk puas sama akan mengambil bentuk L. Umpamanya, jika anda mempunyai sebuah resipi untuk membuat biskut yang memerlukan 3 cawan tepung bagi setiap cawan gula. Walaupun anda mempunyai banyak tepung yang berlebihan, anda masih tidak boleh membuat lebih banyak biskut tanpa lebih banyak gula. Lagi satu contoh untuk pelengkap-pelengkap sempurna ialah kasut kiri dengan kasut kanan. Seorang pengguna tidaklah lebih berada jika dia mempunyai banyak kasut kanan tetapi hanya mempunyai satu kasut kiri sahaja. Kasut-kasut kanan tambahan mempunyai utiliti sut yang kosong tanpa mempunyai lebih banyak kasut kiri. Kadar penggantian sut adalah kosong atau tidak terhad.

Penggunaan

• Teori pengguna menggunakan keluk puas sama dan konstren belanjawan untuk menghasilkan keluk-keluk permintaan pengguna.

Lihat juga

• Homo economicus
• Kerasionalan
• Mikroekonomi
• Teori pengguna
• Teori pilihan
• Konstren belanjawan