MKdV方程式

mKdV方程式（えむけぃでいびぃほうていしき、英: mKdV equation）または変形KdV方程式（へんけいけぃでいびぃほうていしき、英: modified KdV equation）とは非線形波動を記述する非線形偏微分方程式。可積分系の方程式の一つであり、無限個の保存量が存在する。日系3世である数学者ローバート・ミウラ(R. Miura)によって導出された。

概要

定義

時間変数t と空間変数x の関数でv (x, t )についての非線形偏微分方程式

v t + 6 v 2 v x + v x x x = 0 {\displaystyle v_{t}+6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0\,}

をmKdV方程式または、変形KdV方程式という。ここで、右下の添え字は各変数に対する偏微分を表す。mKdV方程式は可積分系の方程式であり、

v = ± α sech ⁡ ( α x − α 3 t ) {\displaystyle v=\pm \alpha \operatorname {sech} (\alpha x-\alpha ^{3}t)\,}

等のソリトン的な解を有する。

KdV方程式との関係

v が第2項の符号を変えたmKdV方程式

v t − 6 v 2 v x + v x x x = 0 {\displaystyle v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0\,}

の解とすると、Miura変換と呼ばれる関係式

u = v x + v 2 {\displaystyle u=v_{x}+v^{2}\,}

で結ばれるu はKdV方程式

u t − 6 u u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0\,}

の解となる。このことは、関係式

( ∂ ∂ x + 2 v ) ( v t − 6 v 2 v x + v x x x ) = u t − 6 u u x + u x x x {\displaystyle {\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x}}+2v{\biggr )}(v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx})=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}}

から導かれる。Miura変換並びにmKdV方程式は日系3世である数学者ローバート・ミウラ（R. Miura）によって、導出された。こうしたMiura変換の発見は可積分系における逆散乱法の発展の契機となった。

逆散乱法との関係

uを与えられたものとすれば、ミウラ変換の関係式は、リッカチの微分方程式であり、変数変換

v = ψ x ψ {\displaystyle v={\frac {\psi _{x}}{\psi }}}

により、

ψ x x − u ( x ) ψ = 0 {\displaystyle \psi _{xx}-u(x)\psi =0}

と線形化される。元のKdV方程式が、ガリレイ変換

u → u − λ {\displaystyle u\rightarrow u-\lambda }
x → x − 6 λ t {\displaystyle x\rightarrow x-6\lambda t}

のもとで不変であることに注意すれば、ガリレイ変換u→u-λで、上記の線形化された方程式は、

ψ x x + ( u − λ ) ψ = 0 {\displaystyle \psi _{xx}+(u-\lambda )\psi =0}

となる。これは、uをポテンシャル関数、λを固有値とするシュレディンガー方程式である。従って、KdV方程式を解くことは、シュレディンガー方程式において、ポテンシャル関数を求める逆問題を解くことと等価である。

参考文献

原論文
  • R. Miura, "Korteweg‐de Vries Equation and Generalizations. I. A Remarkable Explicit Nonlinear Transformation," J. Math. Phys., 9, p. 1202 (1968) doi:10.1063/1.1664700
参考書籍
  • 和達三樹 『非線形波動 (現代物理学叢書) 』 岩波書店 (2000年) ISBN 978-4000067416
  • 戸田盛和 『非線形波動とソリトン』 日本評論社(2000年)　ISBN 978-4535783164

関連項目

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