5の平方根

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5の平方根（ごのへいほうこん）は、平方して 5 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

と書き、「ルート5」と読む。また、負の平方根は

${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$

である。以下、正の平方根について記述する。

${\displaystyle {\sqrt {5}}}$は無理数であることが知られており、したがって小数部分は循環しない。オンライン整数列大辞典によると、十進法表示の小数点以下98桁までは以下の通りである^[1]。

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227…

語呂合わせでは「富士山麓オウム鳴く（ふじさんろくおうむなく）」などがある。

性質

• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$は代数的整数である。${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ の有理数体 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上の既約多項式は x ² − 5 である。
• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$の連分数表示は

${\displaystyle {\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

となる。

• 黄金比に ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ が登場する。具体的には

${\displaystyle 1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

で表される。

• フィボナッチ数列の一般項に現れる。

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\phi ^{n}-(1-\phi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}}$

で表される。

脚注

関連項目

• 平方根
• 2の平方根
• 3の平方根
• 6の平方根
• 7の平方根
• 立方根

表 話 編 歴 代数的数
代数的整数 チェビシェフ分点（英語版） 作図可能数 コンウェイの定数（英語版） (λ) アイゼンシュタイン整数 ガウス整数 黄金数 (φ) クンマー環 ペロン数（英語版） ピゾ–ビジャヤラガバン数（英語版） 二次の無理数（英語版） 有理数 (${\displaystyle \mathbb {Q} }$) 1の冪根 サレム数 白銀比 (δS) √2 √3 √5 √6 √7 3√2 12√2		ℚ
カテゴリ

外部リンク

• 5の平方根の近似値（100万桁）2015年3月30日閲覧