連続線型拡張

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数学の関数解析学の分野における連続線型拡張（れんぞくせんけいかくちょう、英: continuous linear extension）とは、次に述べる手順のことを指す：

完備なノルム線型空間 X {\displaystyle X} 上にある線型変換を定義する時、初めに X {\displaystyle X} 内の稠密な部分集合上に線型変換 T {\displaystyle T} を定義し、その後、後述の定理によって、 T {\displaystyle T} を全空間へと拡張することが便利となることが、しばしばある。この結果として得られる拡張は線型かつ有界（したがって、連続）である。

定理

以下のBLT定理が知られている。なお「BLT定理」という名称は有界線型変換（Bounded Linear Transformation）による。

定理 (BLT定理) ―  T {\displaystyle T} をノルム空間 X {\displaystyle X} から完備なノルム線型空間 Y {\displaystyle Y} への任意の有界線型作用素とする。このとき X {\displaystyle X} の完備化 X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} から Y {\displaystyle Y} へのある有界線型変換 T ¯   :   X ¯ → Y {\displaystyle {\bar {T}}~:~{\bar {X}}\to Y} で

T ¯ | X = T {\displaystyle {\bar {T}}|_{X}=T}

を満たすものが一意に存在する。また T ¯ {\displaystyle {\bar {T}}} の作用素ノルムは T {\displaystyle T} の作用素ノルムに等しい。

定理の後半のノルムに関する部分は前半から明らかに従う。

応用

一例として、リーマン積分の定義について考える。ある閉区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上の階段関数は、次の形式で記述される：

f ≡ r 1 1 [ a , x 1 ) + r 2 1 [ x 1 , x 2 ) + ⋯ + r n 1 [ x n − 1 , b ] . {\displaystyle f\equiv r_{1}{\mathit {1}}_{[a,x_{1})}+r_{2}{\mathit {1}}_{[x_{1},x_{2})}+\cdots +r_{n}{\mathit {1}}_{[x_{n-1},b]}.}

ここで r 1 , … , r n {\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}} は実数であり、 a = x 0 < x 1 < … < x n − 1 < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b} とし、 1 S {\displaystyle {\mathit {1}}_{S}} は集合 S {\displaystyle S} の指示関数を表す。 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上のすべての階段関数からなる空間に L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} ノルム（Lp空間を参照）を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを S {\displaystyle {\mathcal {S}}} と表す。階段関数の積分を、次のように定義する：

I ( ∑ i = 1 n r i 1 [ x i − 1 , x i ) ) = ∑ i = 1 n r i ( x i − x i − 1 ) . {\displaystyle {\mathsf {I}}\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}{\mathit {1}}_{[x_{i-1},x_{i})}\right)=\sum _{i=1}^{n}r_{i}(x_{i}-x_{i-1}).}

このとき、関数としての I {\displaystyle {\mathsf {I}}} は、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} から R {\displaystyle \mathbb {R} } への有界線型変換である[注釈 1]。

L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} ノルムについて右側連続であるような、 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上の区分的連続かつ有界関数からなる空間を、 P C {\displaystyle {\mathcal {PC}}} で表す。上述の空間 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} は、 P C {\displaystyle {\mathcal {PC}}} において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換 I {\displaystyle {\mathsf {I}}} は、 P C {\displaystyle {\mathcal {PC}}} から R {\displaystyle \mathbb {R} } への有界線型変換 I ~ {\displaystyle {\tilde {\mathsf {I}}}} へと拡張される。これにより、 P C {\displaystyle {\mathcal {PC}}} 内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての f ∈ P C {\displaystyle f\in {\mathcal {PC}}} に対して、そのリーマン積分は

∫ a b f ( x ) d x = I ~ ( f ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx={\tilde {\mathsf {I}}}(f)}

で定義される。

ハーン＝バナッハの定理

上述の定理によって、有界線型変換 T : S → Y {\displaystyle T:S\rightarrow Y} を、「 S {\displaystyle S} が X {\displaystyle X} において稠密であるなら」、 S ¯ = X {\displaystyle {\bar {S}}=X} から Y {\displaystyle Y} へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。 S {\displaystyle S} が X {\displaystyle X} において稠密でない場合、ハーン＝バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。

脚注

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  1. ^ ここで、 R {\displaystyle \mathbb {R} } もノルム線型空間であることに注意されたい。実際、 R {\displaystyle \mathbb {R} } は線型空間の公理を満たすことから線型空間であり、そのノルムは絶対値によって定めることが出来る。

参考文献

  • Reed, Michael; Barry Simon (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6