逆べき乗法

逆べき乗法（逆冪乗法、ぎゃくべきじょうほう）もしくは逆反復（法）とは、ある n × n {\displaystyle n\times n} の行列 A {\displaystyle \mathbf {A} } が正則行列であるときに、行列 A {\displaystyle \mathbf {A} } の固有値のうち、絶対値最小のものを求める手法である。

具体的には、適当な初期ベクトル y ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {y} ^{(0)}} から始めて、逐次

y ( k ) = A − 1 y ( k − 1 ) {\displaystyle \mathbf {y} ^{(k)}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {y} ^{(k-1)}}

を計算することで、 y ( k ) {\displaystyle \mathbf {y} ^{(k)}} が A {\displaystyle \mathbf {A} } の絶対値最小の固有値 λ n {\displaystyle \lambda _{n}} に属する固有ベクトルに収束していくことを利用し、

lim k → ∞ y ( k ) T y ( k ) y ( k ) T y ( k − 1 ) = 1 λ n {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\dfrac {\mathbf {y} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {y} ^{(k)}}{\mathbf {y} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {y} ^{(k-1)}}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}}

により絶対値最小の固有値を得る。

　絶対値最大の固有値を求める手法としてはべき乗法が有名である。逆べき乗法は行列 A − 1 {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}} に対してべき乗法を適用しているため、収束の証明はべき乗法と同様である。

参考文献

関連項目

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