超整数

超準解析における超整数（ちょうせいすう、英: hyperinteger; 超準整数）は、その整数部分が自身に等しい超実数（超準実数）を言う。超整数には、通常の整数である有限超整数のほかに無限大超整数も含まれる。無限大超整数の例は、整数列 (1, 2, 3, …) が属する（超実数の超冪構成の意味での）同値類をとればよい。

定義

標準整数部分 ${\textstyle \lfloor x\rfloor }$ は任意の実数 x に対し x を超えない最大の整数に等しいものと定義されるものであった。これに超準解析における移行原理（英語版）を適用すれば、その自然延長として超準整数部函数

$${\displaystyle {}^{*}\lfloor \rfloor \colon x\mapsto {}^{*}\lfloor x\rfloor }$$

定義

超実数 x が超整数であるとは、

$${\displaystyle x={}^{*}\lfloor x\rfloor }$$

を満たすときに言う。

したがって、超整数全体の成す集合は、超実数全体の成す集合のこの超準的な整数部函数による像に等しい。

内的集合

超整数全体の成す集合 *ℤ は超実数全体の成す集合 *ℝ の内的部分集合であり、対して有限超整数全体の成す集合 ℤ は内的部分集合ではない。補集合 *ℤ ∖ ℤ の元は（文献にもよるが）超準 (non-standard), 無限 (unlimited), 無限大 (infinite) 超整数と呼ばれる。無限大超整数の逆数は必ず無限小になる。

非負の超整数はしばしば超自然数 (hypernatural number) と呼ばれ、先と同じように有限超自然数および無限大超自然数全体の成す集合はそれぞれ ℕ および *ℕ と書かれる。後者がスコーレムの意味での算術の超準モデルを与えるものであることを注意しておく。

参考文献

• Keisler, H. J. (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2nd ed.) 

表 話 編 歴 数の体系
可算な体系	自然数 (${\displaystyle \mathbb {N} }$) 整数 (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) 有理数 (${\displaystyle \mathbb {Q} }$) 作図可能数 代数的数 (${\displaystyle \mathbb {A} }$) 周期 計算可能数 定義可能実数 算術数（英語版） ガウス整数 (${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$) アイゼンシュタイン整数 (${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$)
合成代数	通常型 実数 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) 複素数 (${\displaystyle \mathbb {C} }$) 四元数 (${\displaystyle \mathbb {H} }$) 八元数 (${\displaystyle \mathbb {O} }$) 分解型 /${\displaystyle \mathbb {R} }$ 分解型複素数 分解型四元数（英語版） 分解型八元数 /${\displaystyle \mathbb {C} }$ 双複素数 双四元数（英語版） 双八元数
その他の多元数	二重数 二重四元数（英語版） 双曲四元数（英語版） 十六元数 (${\displaystyle \mathbb {S} }$) 分解型双四元数（英語版） 多重複素数
その他	基数 無理数 ファジー数（英語版） 超実数 レヴィ＝チヴィタ体 超現実数 超越数 順序数 p-進数 (${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$) シュタイニッツ数 準超実数
一覧 カテゴリ:数

表 話 編 歴 無限小
歴史	擬等式（英語版） ライプニッツの記法 積分記号 超準解析への批判（英語版） The Analyst（英語版） 『方法』 カヴァリエリの原理（不可分の方法）
関連分野	超準解析 超準微積分学（英語版） 内的集合論（英語版） 綜合微分幾何学（英語版） 滑らかな無限小解析 構成的超準解析（英語版） 無限小応変理論（英語版）（物理学）
定式化	微分小 超実数 二重数 超現実数
個々の概念	標準部分（英語版） 移行原理（英語版） 超整数 増分定理 モナド 内的集合 レヴィ＝チヴィタ体 超有限集合（英語版） 連続の法則（英語版） 溢出（英語版） microcontinuity（英語版） 等質性の超越法則（英語版）
数学者	ゴットフリート・ライプニッツ アブラハム・ロビンソン ピエール・ド・フェルマー オーギュスタン＝ルイ・コーシー レオンハルト・オイラー
教科書	『無限小解析』 『無限小解析の基礎』 『解析教程』