米田の補題

米田の補題（よねだのほだい、英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた^[1][2][3]。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという^[4]。ただし、エミリー・リール（英語版）によれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは Grothendieck (1960) である^[5]。

米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」^[6]「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」^[7]と言われている。

概要

主張の内容

C を局所的に小さい（locally small）圏とする。すなわち C の各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象 A を固定するとき、共変hom関手 H^A = hom(A, _) : C → Set は対象 X に対して、集合 hom(A, X) を割り当て、射 f : X → Y に対して写像 hom(A, f) = f ◦ (_) : hom(A, X) → hom(A, Y) を割り当てる関手であった。さらに、 F : C → Set を集合値関手とし、H^A から F へのすべての自然変換のクラス Nat(H^A, F) について考える。

このとき、米田写像（Yoneda map）と呼ばれる全単射

が存在し、この同型は A ∈ C と F ∈ Set^C について自然である、という主張が米田の補題である。また、F が反変関手 C^op → Set である場合も、反変hom関手 H_A = hom(_, A) との間にという全単射が存在して、これは A と F について自然となる。このことはどちらも米田の補題と呼ばれる。

米田写像の対応

関手 F は共変 (C → Set) とする。このとき、共変hom関手 H^A = hom(A, _) から F への自然変換 τ : H^A ⇒ F は、任意の C の射 f : X → Y に対して ${\textstyle \tau _{Y}\circ H^{A}(f)=Ff\circ \tau _{X}}$ が定義から成り立つ。いま、f : A → Y の場合に、A での恒等射 id_A がどのように写るかを追うことで、等式

を得る。ここから、自然変換 τ : H^A ⇒ F の情報は ${\textstyle \tau _{X}(\mathrm {id} _{A})\in F(A)}$ から全て得られることがわかる。

証明

米田写像 y を、自然変換 τ に対して ${\displaystyle y(\tau )=\tau _{A}(\mathrm {id} _{A})}$ で定める。y が全単射であることを示す。

単射性：a ∊ F(A) に対して、自然変換 τ : H^A ⇒ F が存在して y(τ) = a であったとする。このとき、任意の射 f : A → Y に対して τ は ${\textstyle \tau _{Y}(a)=Ff(a)}$ を満たす。これにより τ の全てのコンポーネントが一意に定まる、すなわちそのような τ は一意に定まるため、y は単射である。

全射性：a ∊ F(A) を任意に固定する。C の対象 X それぞれに対して、写像 τ_X : hom(A, X) → F(X) を ${\textstyle \tau _{X}(f)=Ff(a)}$ で定める。このとき、f : X → Y と g : A → X に対して ${\displaystyle Ff(\tau _{X}(g))=F(f\circ g)(a)=\tau _{Y}(f\circ g)}$ が成り立つことから、τ_X はある自然変換 τ : H^A ⇒ F のコンポーネントである。定義から τ_A(id_A) = a であるため y(τ) = a が成り立つ。すなわち y は全射である。

補題の帰結

普遍性

集合値関手 F : C → Set が、ある H^A = hom(A, _) と自然同型であるとき、F を表現可能関手 (representable functor) といい、A は F の表現対象 (representing object) あるいは単に F の表現という。F が表現可能関手であるとき、米田の補題の帰結として次の主張が成り立つ。

逆に、上記定理の条件を満たす A と u ∈ F(A) の組を F の普遍要素 (universal element) と呼ぶ。より一般に、関手 F : C → D と d ∈ D に対して、d の F への普遍性 (universality) とは、A ∈ C と D の射 u : d → FA の組であって、任意の B ∈ C と D の射 x : d → FB に対して、C の射 x : A → B がただ1つ存在して、Fx ◦ u = x が成り立つことを言う。

普遍要素の性質は一点集合からの普遍性と言えて、普遍性は D(d, F_) : C → Set の普遍要素として表現できるため、普遍性・普遍要素・表現可能関手はそれぞれ互いの概念を包含する^[8]。

米田埋め込み

米田写像の自然性から、対象 A ∈ C に関手 H^A = hom(A, _)、あるいは H_A = hom(_, A) を割り当てる操作は、関手

を構成する。米田の補題から ${\textstyle \mathop {\mathrm {Nat} } (H^{A},H^{B})\cong H^{B}(A)=\mathop {\mathrm {hom} } (A,B)}$ であるため、H^• (H_•) は忠実充満であることが言える。このことから、H^• (H_•) を米田埋め込み (Yoneda embedding) とも呼ぶ。米田埋め込みは Y ^[9]や よ ^[10][11]などの記号によって表されることもある。

関手 F : C → Set に対して、F の「要素の圏」(category of elements) El A とは、X ∊ C、x ∈ FX の組とその関係を保つ C の射からなる圏 (すなわち、米田埋め込み Y_C: C^op → Set^C を用いたコンマ圏 Y_C ↓ F) のことである。El A から C の情報を取り出す関手を Φ_F : El F → C^op と表すとき、F は Y_C ◦ Φ_F : El F → Set^C の余極限 (と同型) である^[12]。つまり、任意の集合値関手は表現可能関手による余極限として表される。

前層の部分対象分類子

有限の極限を持つ圏 C 上の前層（英語: presheaf）とは C からの反変関手 P : C^op → Set のことであり、このとき前層の圏を ˆC = Set^Cop で表す。圏 ˆC の部分対象分類子（英語: subobject classifier）とは、(存在するならば) ˆC の対象 Ω とモノ射 true : 1 → Ω (1は終対象) であって、任意のモノ射 j : U → X に対して、χ_j ◦ j = true かつその可換図式が引き戻しとなるような ${\textstyle \chi _{j}:X\to \Omega }$ がただ1つ存在するようなものを言う。

前層の圏 ˆC への米田埋め込みを Y: C → Set^Cop で表すとする。いま、ˆC に部分対象分類子 Ω : C^op → Set が存在するならば、特に YC = Hom_C(_, C) (C ∈ C) について

が成り立つ (右の同型が米田の補題から従う)。部分対象分類子の定義から、左辺の集合は YC の部分対象の集合と互いに1対1対応する。従って、等式全体が C について自然であることから、ˆC は必ず部分対象分類子を持ち、それは表現可能な前層 YC の部分対象を調べればよいことがわかる^[13]。

豊穣圏での補題

豊穣圏とは、通常の圏におけるhom集合 (すなわち対象の間の射の集合) の代わりに、順序集合、加法群、その他の対象 (一般には、あるモノイダル圏 V の対象として記述される) を割り当てるような一般化した構造であり、例えばこの意味で通常の圏は Set-豊穣圏、2-圏は Cat-豊穣圏と言える。豊穣圏の理論では、V の条件によって (具体的には完備かどうかによって) 米田の補題は強いものと弱いものに分けられる。

ただし豊穣圏の理論において「関手圏」[A, V] のhom対象 [A, V](A(K, _), F) にあたるものは、関手 V(A(K, _), F_) のエンド（英語版）である。

脚注

1. ^ Kinoshita 1996
2. ^ Kinoshita 1998
3. ^ MacLane 1998a
4. ^ Mac Lane 1998, p. 77
5. ^ Riehl 2016, p. 57
6. ^ Riehl 2016, p. 50
7. ^ Awodey 2010, p. 191
8. ^ Mac Lane 1998, pp. 57–61
9. ^ Mac Lane (1998) など。
10. ^ Johnson-Freyd, Theo; Scheimbauer, Claudia (2017-02-05). “(Op)lax natural transformations, twisted quantum field theories, and “even higher” Morita categories” (英語). Advances in Mathematics 307: 147–223. arXiv:1502.06526. doi:10.1016/j.aim.2016.11.014. ISSN 0001-8708. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870816303164. 
11. ^ Loregian, Fosco (2021). (Co)end Calculus. Cambridge: Cambridge University Press. arXiv:1501.02503. doi:10.1017/9781108778657. ISBN 978-1-108-74612-0. https://www.cambridge.org/core/books/coend-calculus/C662E90767358B336F17B606D19D8C43 2022年10月1日閲覧。 
12. ^ Adámek, Rosický & Vitale 2010, p. 8, §0.14
13. ^ Mac Lane & Moerdijk 1992, pp. 37–39

参考文献

• Adámek, J.; Rosický, J.; Vitale, E. M. (2010). Algebraic Theories. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511760754. ISBN 9780511760754 
• Awodey, Steve (2010). Category Theory. Oxford Logic Guides. Oxford University Press. ISBN 9780199237180 
• Bucur, I.; Deleanu, A. (1968). Introduction to the theory of categories and functors. Wiley. ISBN 047011651X 
• Grothendieck, A. (1958-1960), Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules., http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=SB_1958-1960__5__369_0 
• Kelly, G. M. (1982) (英語). Basic concepts of Enriched Category Theory. Lecture Notes in Mathematics. 64. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28702-9 
  • (再版) Kelly, G. M. (2005). “Basic Concepts of Enriched Category Theory”. Reprints in Theory and Applications of Categories 10: 1–136. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/10/tr10abs.html 2022年9月25日閲覧。. 
• Kinoshita, Yoshiki (1996年4月23日) (英語), Prof. Nobuo Yoneda passed away, https://www.mta.ca/~cat-dist/catlist/1999/yoneda , Wikidata Q106653302
• Kinoshita, Yoshiki (1998年1月), “Nobuo Yoneda” (英語), Mathematica Japonicae 47 (1): 155, ISSN 0025-5513 , Wikidata Q106653378
• Leinster, Tom (2014). Basic category theory. Cambridge: Cambridge University Press. arXiv:1612.09375. ISBN 978-1-107-36006-8. OCLC 886649936 
• Mac Lane, S. (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. https://books.google.co.jp/books?id=MXboNPdTv7QC  邦訳：『圏論の基礎』
• MacLane, Saunders (1998年1月), “The Yoneda Lemma” (英語), Mathematica Japonicae 47 (1): 156, ISSN 0025-5513 , Wikidata Q106653429
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Sheaves in Geometry and Logic : A First Introduction to Topos Theory. Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-0927-0. ISBN 978-0-387-97710-2. OCLC 828776278 
• Riehl, Emily (2016) (pdf). Category Theory in Context. Aurora; Modern Math Originals. Dover Publications. ISBN 9780486809038. https://emilyriehl.github.io/files/context.pdf 2022年9月22日閲覧。 

関連項目

• 図式スキーム
• ホモロジー代数
• アーベル圏