周期 T のくし型関数。 くし型関数(くしがたかんすう、英: comb function)は、デルタ関数を一定の間隔で並べた超関数。
![{\displaystyle \operatorname {comb} _{T}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711a4d94204d09abe984d1941096deaa2178afde)
ここで T は周期、δ はデルタ関数である。
様々な呼称があり、キリル文字の “Ш" の形に似ているためシャー関数 (shah function)、あるいは関数の性質から周期的デルタ関数とも呼ばれる。
くし型関数を通常の関数と見た場合、デルタ関数と同様、以下のように振る舞う。
![{\displaystyle \operatorname {comb} _{T}(x)={\begin{cases}\infty &(x=nT)\\0&(x\neq nT)\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd40061acced0481e084ef92900fdbfa5f95ec7)
連続関数との積を取ることにより、一定間隔で離散化(サンプリング)した数値列を得ることができるわけではない(クロネッカーのデルタ関数と混同しないこと)。 連続関数と積を取った後、積分を行うことで、積分を一定間隔値の無限和に変換する性質を持つ。サンプラーのモデルとしても扱われる。
特徴
くし型関数のフーリエ変換はくし型関数になる[1]。
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta _{T})={\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {comb} _{\frac {2\pi }{T}}(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94828fbe84158747b67aa78bcc9426e5ef181dca)
ただしフーリエ変換すると周期が T から 2π/T になる。 なお当然のことながら、積分を使わない離散フーリエ変換をくし型関数に定義することはできない。
以下のポアソン和公式が成り立つ[1]:
![{\displaystyle {\frac {1}{T}}\operatorname {comb} \left({\frac {x}{T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)={\frac {1}{T}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\exp \left({\frac {2\pi imx}{T}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf4c6a9ba31325b8ecc55bd2f24e77b53309e9e)
参考文献
- ^ a b Williams, Earl G. 著、吉川茂、西條献児 訳『フーリエ音響学』シュプリンガーフェアラーク東京、2005年、9頁。ISBN 4-431-71174-0。