Varietà proiettiva

Una varietà proiettiva ${\displaystyle X}$ è l'insieme dei punti di uno spazio proiettivo ${\displaystyle n}$-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {K} }^{n}}$ (dove ${\displaystyle \mathbb {K} }$ è un campo) che annullano simultaneamente una data famiglia di polinomi omogenei ${\displaystyle \{F_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ di ${\displaystyle \mathbb {K} [x_{0},\dots ,x_{n}]}$, ossia

${\displaystyle X:=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid F_{\lambda }(x)=0,\ \forall \lambda \in \Lambda \}.}$

Sebbene tale assunzione non sia universalmente accettata^[1], nella letteratura matematica recente^[2] si suppone, nella definizione di varietà proiettiva, che essa sia irriducibile nella topologia di Zariski. Senza tale richiesta si parla invece di insieme algebrico proiettivo.

• In geometria algebrica si suole richiedere che il campo base ${\displaystyle \mathbb {K} }$ sia algebricamente chiuso.
• È immediato verificare che la varietà proiettiva ${\displaystyle X}$ può essere definita equivalentemente come insieme dei punti che annullano tutti i polinomi dell'ideale omogeneo ${\displaystyle {\mathcal {I}}:=(F_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ generato dalla famiglia ${\displaystyle \{F_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$.
• Poiché vale il teorema della base di Hilbert, ossia che l'anello dei polinomi è noetheriano, la famiglia di polinomi che definisce ${\displaystyle X}$ può sempre essere presa finita.
• Un sottoinsieme aperto rispetto alla topologia di Zariski di una varietà proiettiva è detto varietà quasi-proiettiva.

• (EN) Eric W. Weisstein, Varietà proiettiva, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Varietà proiettiva, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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