In analisi funzionale, la trasformata di Laplace (dal nome del matematico francese Pierre Simon Laplace) è una trasformata integrale ovvero nello specifico un operatore funzionale lineare che associa ad una funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa.
Indice
1Descrizione
1.1Definizione
1.1.1Teoria delle probabilità
1.2Trasformata inversa
1.3Regione di convergenza
2Proprietà
2.1Teorema del valore iniziale e del valore finale
2.2Trasformata di alcune funzioni notevoli
3Relazione con le altre trasformate
3.1Trasformata di Laplace–Stieltjes
3.2Trasformata di Mellin
3.3Trasformata di Fourier
3.4Trasformata zeta
4Applicazione alle equazioni differenziali
4.1Esempio 1
4.2Esempio 2
4.3Esempio 3
4.4Esempio 4
5Bibliografia
6Voci correlate
7Altri progetti
8Collegamenti esterni
Descrizione
Definizione
Sia data una funzione definita sui numeri reali. La trasformata di Laplace è la funzione definita sull'insieme continuo data da
essendo il numero di Nepero (o Eulero) ed il parametro un numero complesso
con e numeri reali e l'unità immaginaria. Talvolta la trasformata è indicata, meno rigorosamente, nella forma .
Si può definire la trasformata di Laplace di una misura di Borel finita attraverso l'integrale di Lebesgue:
La trasformata unilatera di Laplace è definita per come:
La trasformata di Laplace tipicamente esiste per tutti i numeri reali , dove è una costante (chiamata ascissa di convergenza) che dipende dalla funzione originaria e che costituisce la regione di convergenza.
Si tratta di una trasformata integrale che gode di numerose proprietà, che la rendono utile per l'analisi dei sistemi dinamici lineari. Il vantaggio più significativo è che l'integrale e la derivata di una funzione diventano rispettivamente una moltiplicazione e una divisione per la variabile complessa, analogamente al modo in cui i logaritmi cambiano la moltiplicazione di numeri nella loro addizione. Essa consente di trasformare le equazioni integrali e le equazioni differenziali in equazioni polinomiali, che sono più immediate da risolvere. Anche la risposta (l'uscita) di un sistema dinamico lineare può essere calcolata come prodotto di convoluzione della sua risposta impulsiva unitaria con il segnale d'ingresso. Sviluppando questo calcolo nello spazio di Laplace la convoluzione diventa una moltiplicazione, che spesso rende il problema più semplice. In particolare nell'ingegneria dei sistemi la trasformata di Laplace della risposta impulsiva del sistema è la sua funzione di trasferimento che caratterizza il comportamento del sistema in oggetto:
Con abuso di notazione, si riferisce a tale integrale come la trasformata di Laplace di stesso, e sostituendo con si ha la funzione generatrice dei momenti di . Di particolare interesse è la pratica di ottenere la funzione cumulativa di distribuzione di probabilità di una variabile casuale attraverso la trasformata di Laplace nel modo seguente:
L'inversa della trasformata di Laplace è data dall'integrale di Bromwich, anche detto integrale di Fourier-Mellin o formula inversa di Mellin, un integrale complesso dato da
dove è un numero reale tale che il contorno del cammino di integrazione sia contenuto nella regione di convergenza di .
Si dimostra che se una funzione ha la trasformata inversa , ovvero è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione
Se si verifica soltanto la convergenza del primo tipo, la trasformata di Laplace converge condizionatamente.
Dal teorema della convergenza dominata segue che i valori tali che converge assolutamente sono tali che oppure , dove appartiene alla retta reale estesa. Tale costante è detta ascissa di convergenza assoluta e dipende dal comportamento della crescita della funzione . Nella regione di convergenza assoluta la trasformata è una funzione analitica.
L'insieme di valori in cui converge, condizionatamente o assolutamente, è la regione di convergenza (ROC). Se la trasformata di Laplace converge condizionatamente in allora converge per ogni tale che , e di conseguenza la regione di convergenza è il semipiano ed eventualmente punti sulla linea di frontiera . Nella regione di convergenza la trasformata di Laplace può essere espressa integrando per parti:
evidenziando così il fatto che nella regione di convergenza la funzione può essere espressa come la trasformata di Laplace assolutamente convergente di qualche altra funzione, ed in particolare è analitica.
Si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale della funzione partendo dalla sua trasformata. Essi valgono per funzioni di classe , causali (cioè nulle per ) e con ascissa di convergenza . Il teorema del valore iniziale stabilisce che:
mentre il teorema del valore finale stabilisce che se è finito ed esiste , allora:
allora la trasformata di Laplace–Stieltjes di coincide con la trasformata di Laplace di . In generale, la trasformata di Laplace–Stieltjes è la trasformata di Laplace della misura di Stieltjes associata a .
La trasformata di Fourier è equivalente al valutare la trasformata di Laplace bilatera con argomento immaginario :
e tale definizione è valida se e solo se la regione di convergenza di contiene l'asse immaginario. Inoltre, richiede la presenza del fattore nella trasformata di Fourier inversa. Una relazione del tipo:
vale tuttavia sotto condizioni meno restrittive, e le condizioni generali che relazionano il limite della trasformata di Laplace di una funzione sul bordo con la trasformata di Fourier sono date dal teorema di Paley-Wiener.
la rappresentazione tempo-continua del segnale ottenuto campionando . La trasformata di Laplace di è data da:
Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta , ovvero
con la sostituzione . Confrontando le ultime due relazioni si ottiene quindi la relazione tra la trasformata zeta unilatera e la trasformata di Laplace del segnale campionato
Nell'ambito della teoria delle equazioni differenziali lineari a valori iniziali dati, le proprietà della trasformata di Laplace, in particolare la linearità e la formula per le derivate di funzioni, possono essere utilizzate come potente mezzo risolutivo. Considerando la proprietà della trasformata:
rappresenta il numero di atomi non decaduti in un campione di isotopi radioattivi al tempo , e è la costante di decadimento. Si può usare la trasformata di Laplace per risolvere questa equazione. Riscrivendo l'equazione da una parte si ha:
trasformando entrambi i membri:
dove:
Risolvendo si trova:
Alla fine, si antitrasforma per trovare la soluzione generale:
che è il risultato corretto che descrive il decadimento radioattivo.
Esempio 3
Si consideri un circuito RC in tensione continua definita come:
con . Trasformando secondo Laplace da entrambe le parti:
e dunque, antitrasformando:
avendo posto
Bibliografia
(EN) K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, 3rd, Cambridge University Press, 2010, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3.
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