Primo teorema di Euclide

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In geometria, il primo teorema di Euclide è un teorema attinente al triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:

1. mediante l'equiestensione tra figure:

   In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.

2. mediante relazioni tra segmenti:

   In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa.

Dimostrazione

Facendo riferimento alla figura, si consideri il triangolo rettangolo ${\displaystyle ABC}$. Sul cateto ${\displaystyle BC}$ si costruisca il quadrato ${\displaystyle BDEC}$ e sia ${\displaystyle CH}$ la proiezione del cateto ${\displaystyle BC}$ sull'ipotenusa ${\displaystyle CA}$. Si costruisca il rettangolo ${\displaystyle HCLM}$ avente ${\displaystyle CL}$ congruente a ${\displaystyle CA}$. Si prolunghi il lato ${\displaystyle ED}$ dalla parte di ${\displaystyle D}$ fino ad incontrare in ${\displaystyle F}$ la retta contenente il segmento ${\displaystyle CL}$ e in ${\displaystyle G}$ la retta contenente il segmento ${\displaystyle MH}$. Si vuole dimostrare che il quadrato ${\displaystyle BDEC}$ è equivalente al rettangolo ${\displaystyle HCLM}$.

Si considerino ora i triangoli ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle CFE}$. Essi hanno:

• ${\displaystyle BC}$ è congruente a ${\displaystyle CE}$ per costruzione,
• l'angolo ${\displaystyle ABC}$ congruente all'angolo ${\displaystyle FEC}$ perché retti.
• l'angolo ${\displaystyle BCA}$ è congruente all'angolo ${\displaystyle ECF}$ perché entrambi complementari dello stesso angolo ${\displaystyle FCB}$.

Dunque, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle CFE}$ sono congruenti, e in particolare si ha che ${\displaystyle CA}$ è congruente a ${\displaystyle CF}$.

Si considerino il quadrato ${\displaystyle BDEC}$ e il parallelogramma ${\displaystyle FCBG}$. Essi hanno la stessa base ${\displaystyle CB}$ e la stessa altezza ${\displaystyle DB}$ (se consideriamo ${\displaystyle CB}$ come la base l'altezza relativa ad essa è ${\displaystyle DB}$, perché ${\displaystyle DE}$ e ${\displaystyle GF}$ appartengono alla stessa retta) e quindi sono equivalenti.

Si considerino il parallelogramma ${\displaystyle FCBG}$ e il rettangolo ${\displaystyle HCLM}$. Essi hanno basi congruenti (infatti ${\displaystyle FC}$ è congruente a ${\displaystyle CA}$ per dimostrazione precedente, e ${\displaystyle CA}$ è congruente a ${\displaystyle CL}$ per costruzione, quindi ${\displaystyle FC}$ è congruente a ${\displaystyle CL}$ per la proprietà transitiva della congruenza) e la stessa altezza (infatti ${\displaystyle FC}$ e ${\displaystyle CL}$ appartengono alla stessa retta, e così pure ${\displaystyle BG}$ e ${\displaystyle MH}$), quindi sono equivalenti.

Allora, per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato ${\displaystyle BDEC}$ è equivalente al rettangolo ${\displaystyle HCLM}$.

In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura: ${\displaystyle AC:BC=BC:CH}$. In modo equivalente: ${\displaystyle BC^{2}=AC}$·${\displaystyle CH}$.

Si considerino i triangoli ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle BCH}$. Essi hanno tutti gli angoli congruenti (sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo in ${\displaystyle C}$ in comune), e quindi sono simili per il primo criterio di similitudine. Da ciò si ricava: ${\displaystyle AC:BC=BC:CH}$.

• Secondo teorema di Euclide
• Euclide
• Teorema di Pitagora
• Triangolo rettangolo

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