Polinomi di Jacobi

In matematica i polinomi di Jacobi costituiscono una sequenza polinomiale a due parametri e più precisamente costituiscono una successione di polinomi ortogonali a due parametri. Il loro nome ricorda il matematico tedesco Carl Jacobi (1804-1851).

Essi possono definirsi in molti modi equivalenti.

Mediante una serie ipergeometrica che in effetti si riduce a un polinomio:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {(\alpha +1)^{\underline {n}}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,n+\lambda ,\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}$

dove ${\displaystyle {\underline {n}}}$ denota il fattoriale crescente e dove ${\displaystyle \lambda :=\alpha +\beta +1}$.

Mediante la variante della precedente:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {(-1)^{n}(\beta +1)^{\underline {n}}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,n+\lambda ,\alpha +1;{\frac {1+z}{2}}\right).}$

Mediante una formula alla Rodriguez:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}\,(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left[(1-z)^{\alpha +n}(1+z)^{\beta +n}\right].}$

Mediante la espressione polinomiale esplicita

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z):={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{n+\alpha \choose k}{n+\beta \choose n-k}(z-1)^{n-k}(z+1)^{k}.}$

Come soluzioni polinomiali dell'equazione differenziale di Jacobi.

Per ${\displaystyle \alpha ,\beta >-1}$ si possono definire come i componenti della successione di polinomi ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla funzione peso ${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$. La corrispondente relazione di ortogonalità è

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{\alpha ,\beta }(x)P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)dx={\begin{cases}0,&{\text{se }}m\neq n,\\{\frac {2^{\lambda }\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\lambda )n!\,\Gamma (n+\lambda )}},&{\text{se }}m=n\neq 0,\\{\frac {2^{\lambda }\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\lambda +1)}},&{\text{se }}m=n=0.\end{cases}}}$

Si tratta di varianti dei precedenti abbastanza modeste ma molto usate; sono definiti come

${\displaystyle R_{n}^{\alpha ,\beta }(z):=P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(2z-1).}$

Naturalmente anche questi costituiscono una successione di polinomi ortogonali e la relazione di ortogonalità è:

${\displaystyle \int _{0}^{1}dx(1-x)^{\alpha }x^{\beta }R_{m}^{\alpha ,\beta }(x)R_{n}^{\alpha ,\beta }(x)={\begin{cases}0,&{\text{se }}m\neq n,\\{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\lambda )n!\,\Gamma (n+\lambda )}},&{\text{se }}m=n\neq 0,\\{\frac {\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\lambda +1)}},&{\text{se }}m=n=0.\end{cases}}}$

Per ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$ si riducono ai polinomi di Legendre.

Per ${\displaystyle \alpha =\beta }$ si riducono ai polinomi di Gegenbauer:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha +1/2)}(z)={\frac {(2\alpha +1)^{\underline {n}}}{\,}}{(\alpha +1){\underline {n}}}\,P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z).}$

Per ${\displaystyle \alpha =\beta =-1/2}$ si riducono ai polinomi di Chebyshev di primo genere:

${\displaystyle T_{n}(z)={\frac {n!}{(1/2)^{\underline {n}}}}P_{n}^{(-1/2,-1/2)}(z).}$

I primi polinomi della successione graduale sono:

${\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,}$

${\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{2}}\left[2(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2)(z-1)\right],}$

${\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{8}}\left[4(\alpha +1)(\alpha +2)+4(\alpha +\beta +3)(\alpha +2)(z-1)+(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)(z-1)^{2}\right].}$

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, ISBN 0486612724. Vedi anche chapter 22

• Jacobi Polynomials in MathWorld

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