Numero primo di Wolstenholme

In matematica un numero primo p {\displaystyle p} è detto di Primo di Wolstenholme se e solo se

( 2 p − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 4 ) {\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}}


Ovvero

( 2 p p ) ≡ 2 ( mod p 4 ) {\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{4}}}}

Gli unici due numeri primi di Wolstenholme attualmente conosciuti sono 16843 e 2124679 (sequenza A088164 dell'OEIS). È stato verificato che non ne esistano altri minori di 10 9 {\displaystyle 10^{9}} [1]

Dimostrazione

Il Coefficiente binomiale è definito come:

( n k ) = n ! ( n − k ) ! ( k ! ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!(k!)}}}


Si può quindi espandere il binomio, riscrivendo l'identità come:

( 2 p − 1 p − 1 ) = ( 2 p − 1 ) ! [ ( 2 p − 1 ) − ( p − 1 ) ] ! ( p − 1 ) ! ≡ 1 {\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}={\frac {(2p-1)!}{[(2p-1)-(p-1)]!(p-1)!}}\equiv 1}


Semplificando si ottiene:

( 2 p − 1 p − 1 ) = 2 p 2 p ⋅ ( 2 p − 1 ) ! p ! ( p − 1 ) ! = 1 2 ⋅ ( 2 p ) ! ( p ! ) 2 = 1 2 ( 2 p p ) ≡ 1 {\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\,={\frac {2p}{2p}}\cdot {\frac {(2p-1)!}{p!(p-1)!}}\,={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(2p)!}{(p!)^{2}}}\,={\frac {1}{2}}{\binom {2p}{p}}\,\equiv 1}


Raggruppando, la seguente identità è dimostrata:

( 2 p p ) ≡ 2 {\displaystyle {\binom {2p}{p}}\,\equiv 2\,}

Note

  1. ^ McIntosh, email a Paul Zimmermann. 9 Mar 2004

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Numero primo di Wolstenholme, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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