Lemma della farfalla

Questa voce sull'argomento algebra è solo un abbozzo.

Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia.

Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

Il lemma della farfalla è un risultato utilizzato nell'algebra.

Siano ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle V}$ due sottogruppi di un gruppo ${\displaystyle G}$, siano ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle K}$ sottogruppi normali di ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle V}$ rispettivamente, allora:

1. ${\displaystyle H(U\cap K)}$ è normale in ${\displaystyle H(U\cap V)}$
2. ${\displaystyle (H\cap V)K}$ è normale in ${\displaystyle (U\cap V)K}$

I gruppi quozienti inoltre risultano isomorfi:

${\displaystyle H(U\cap V)/H(U\cap K)\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K}$

Dimostrazione

Una possibile dimostrazione del Lemma è:

Si verifica che ${\displaystyle H(U\cap K)}$ è normale in ${\displaystyle H(U\cap V)}$.

Si può osservare che ${\displaystyle U\cap K}$ è normale in ${\displaystyle U\cap V}$, infatti ${\displaystyle \forall k\in U\cap K}$ e ${\displaystyle \forall v\in U\cap V}$ si ha:

${\displaystyle {\begin{cases}vkv^{-1}\in K,&{\text{perché}}\ K\ {\text{è normale in}}\ V,\\vkv^{-1}\in U,&{\text{perché}}\ k,v\in U.\end{cases}}\implies vkv^{-1}\in U\cap K}$.

Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che ${\displaystyle H(U\cap K)}$ ė normale in ${\displaystyle H(U\cap V)}$.

Si verifica che ${\displaystyle (H\cap V)K}$ è normale in ${\displaystyle (U\cap V)K}$.

Si può osservare che ${\displaystyle H\cap V}$ è normale in ${\displaystyle U\cap V}$. Infatti, ${\displaystyle \forall k\in H\cap V}$ e ${\displaystyle \forall v\in U\cap V}$, si ha:

${\displaystyle {\begin{cases}vkv^{-1}\in U,&{\text{perché}}\ H\ {\text{è normale in}}\ U,\\vkv^{-1}\in V,&{\text{perché}}\ k,v\in V.\end{cases}}\implies vkv^{-1}\in H\cap V.}$

Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che ${\displaystyle (H\cap V)K}$ è normale in ${\displaystyle (U\cap V)K}$.

La combinazione di gruppi e gruppi quoziente diventa chiara quando la visualizziamo nel diagramma di sottogruppi che dà il nome al Lemma:

Nel diagramma sono dati ${\displaystyle H,K,U,V,}$ tutti gli altri punti del diagramma corrispondono a certi gruppi che si possono determinare nel modo seguente:

• L'intersezione di due segmenti che vanno verso il basso corrispondono all'intersezione di gruppi;

• L'intersezione di due linee che vanno verso l'alto corrisponde al prodotto.

Consideriamo i due parallelogrammi che formano le ali della farfalla, otteniamo l'isomorfismo dei gruppi quoziente come segue:

${\displaystyle (H(U\cap V))/(H(U\cap K))(U\cap V)/((H\cap V)(U\cap K))\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K}$

Infatti il lato in comune ai due parallelogrammi ha come punto iniziale ${\displaystyle U\cap V}$,

e come punto finale ${\displaystyle (H\cap V)(U\cap K)}$. Si ha l'isomorfismo:

${\displaystyle (H(U\cap V))/(H(U\cap K))\cong (U\cap V)/((H\cap V)(U\cap K))}$

Applicando il teorema di isomorfismo:

${\displaystyle G/((G\cap N))\cong GN/N}$,

Con ${\displaystyle G=U\cap V}$ e ${\displaystyle N=H(U\cap K)}$.

Questo dà l'isomorfismo di sinistra.

L'isomorfismo di destra si ottiene per simmetria.

Da cui ${\displaystyle (H(U\cap V))/(H(U\cap K))\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K}$.

Q.E.D.

Bibliografia

• J. Lambek Pierce, The Butterfly and the Serpent, 1996, p. 27, exercise 1
• Aldo Ursini, Paulo Agliano, Logic and Algebra, CRC Press, pp. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
• Carl Clifton Faith, Nguyen Viet Dung, Barbara Osofsky, Rings, Modules and Representations, AMS Bookstore, 2009, p. 6 ISBN 0-8218-4370-2
• Hans Zassenhaus, Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 1934
• Hans Zassenhaus, Theory of Groups, second English edition, Lemma on Four Elements, Chelsea Publishing, 1958, p. 74

Voci correlate

Algebra lineare

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica