Indipendenza algebrica

In algebra astratta, un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ di un campo ${\displaystyle L}$ si dice algebricamente indipendente su un sottocampo ${\displaystyle K}$ se gli elementi di ${\displaystyle S}$ non soddisfano nessuna equazione polinomiale non banale a coefficienti in ${\displaystyle K}$.

Questo significa che per ogni sequenza finita ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ di elementi distinti di ${\displaystyle S}$ e per ogni espressione polinomiale ${\displaystyle P(x_{1},...,x_{n})}$ a coefficienti in ${\displaystyle K}$, si ha: ${\displaystyle P(\alpha _{1},...,\alpha _{n})\neq 0}$.

In particolare, un unico elemento ${\displaystyle \alpha }$ è algebricamente indipendente su ${\displaystyle K}$ se e solo se è trascendente in ${\displaystyle K}$. In generale, tutti gli elementi di un insieme algebricamente indipendente su ${\displaystyle K}$ sono necessariamente trascendenti su ${\displaystyle K}$ stesso anche se questa non è affatto condizione sufficiente.

Per esempio: il sottoinsieme dei numeri reali ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$ non è algebricamente indipendente sull'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei razionali dal momento che l'espressione polinomiale ${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}$ vale zero se si scelgono ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\pi }}}$ e ${\displaystyle x_{2}=2\pi +1}$.

Non è noto se l'insieme {π, e} sia algebricamente indipendente su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Nel 1996 Yu Nesterenko ha dimostrato l'indipendenza algebrica di ${\displaystyle \{\pi ,e^{\pi },\Gamma (1/4)\}}$ su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Data un'estensione di campi ${\displaystyle L/K}$, si può utilizzare il lemma di Zorn per dimostrare che esiste sempre un sottosinsieme massimale di ${\displaystyle L}$ algebricamente indipendente su ${\displaystyle K}$. Inoltre tutti i sottoinsiemi algebricamente indipendenti massimali hanno la stessa cardinalità nota come grado di trascendenza dell'estensione.

• Yu. V. Nesterenko, Algebraic independence of π and e^π, Number Theory and its Applications, Proc. 1996 Ankara conf., ed. C. Y. Yildirim and S. A. Stepanov, Dekker, 1999, pp. 121-149; MR 99k:11113

• Estensione di campi
• Indipendenza lineare
• Indipendenza affine

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