Funzione poligamma

In matematica, per funzione poligamma di ordine m si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica m+1-esima della funzione Gamma:

ψ m ( z ) := ( d d z ) m + 1 ln Γ ( z ) = ( d d z ) m Γ ( z ) Γ ( z ) = ( d d z ) m ψ 0 ( z ) {\displaystyle \psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z)} .

Qui

ψ 0 ( z ) = Γ ( z ) Γ ( z ) {\displaystyle \psi _{0}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}

denota la funzione digamma e Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} denota la funzione gamma.

Generalità

La funzione poligamma si denota anche ψ ( m ) {\displaystyle \,\psi ^{(m)}} . La funzione ψ 1 {\displaystyle \,\psi _{1}} viene detta anche funzione trigamma e la ψ 2 {\displaystyle \,\psi _{2}} funzione tetragamma.

Nel semipiano complesso Re z >0 la funzione poligamma si può trattare mediante la seguente rappresentazione integrale.

ψ n ( z ) = ( 1 ) n + 1 0 t n e t z 1 e t d t   {\displaystyle \psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{n}e^{-tz}}{1-e^{-t}}}dt\ } .

Vale la relazione di ricorrenza

ψ n ( z + 1 ) = ψ n ( z ) + ( ) n n ! z ( n + 1 ) {\displaystyle \psi _{n}(z+1)=\psi _{n}(z)+(-)^{n}\;n!\;z^{-(n+1)}}

Una poligamma ha la seguente rappresentazione mediante serie

ψ n ( z ) = ( 1 ) n + 1 n ! k = 0 1 ( z + k ) n + 1 {\displaystyle \psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\;n!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{n+1}}}}

che vale per n>0 e per ogni argomento complesso che non sia un intero negativo. Questa identità può essere scritta più concisamente servendosi della funzione zeta di Hurwitz

ψ n ( z ) = ( 1 ) n + 1 n ! ζ ( n + 1 , z ) {\displaystyle \psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\;n!\;\zeta (n+1,z)} .

Si osserva quindi che la zeta di Hurwitz costituisce una famiglia di funzioni che amplia la famiglia costituita dalla poligamma: questa è caratterizzata da un parametro che varia nell'insieme degli interi positivi e la prima famiglia la amplia consentendo al parametro di variare nel campo complesso.

Lo sviluppo di Taylor con centro in z0=1 è

ψ n ( z + 1 ) = k = 0 ( 1 ) n + k + 1 ( n + k ) ! ζ ( n + k + 1 ) z k k ! {\displaystyle \psi _{n}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{n+k+1}(n+k)!\;\zeta (n+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}}

che converge per |z|<1. Qui ζ ( s ) {\displaystyle \,\zeta (s)} denota la funzione zeta di Riemann.

Valgono inoltre la formula di riflessione

ψ n ( 1 z ) + ( 1 ) n + 1 ψ n ( z ) = ( 1 ) n π d n d z n cot ( π z ) {\displaystyle \psi _{n}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi _{n}(z)=(-1)^{n}\,\pi \,{d^{n} \over dz^{n}}\cot(\pi z)}

e la formula di moltiplicazione

ψ n ( m z ) = δ n , 0 ln m + 1 m n + 1 k = 0 m 1 ψ n ( z + k m ) {\displaystyle \psi _{n}(mz)=\delta _{n,0}\ln m+{1 \over m^{n+1}}\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{n}\left(z+{k \over m}\right)}

Alcuni valori particolari

Si dimostra che

d d z ln Γ ( z ) = Γ ( z ) Γ ( z ) = ψ 0 ( z ) = γ 1 z k = 1 ( 1 z + k 1 k ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z+k}}-{\frac {1}{k}}\right)}

dove γ {\displaystyle \gamma } è la costante di Eulero-Mascheroni. Questa serie, per z = m {\displaystyle z=m} intero positivo, si riduce ad una somma finita

Γ ( m ) Γ ( m ) = ψ 0 ( m ) = γ + 1 + 1 2 + + 1 m 1 {\displaystyle {\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=\psi _{0}(m)=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}}

Derivando membro a membro rispetto a z {\displaystyle z} si ha, ancora,

d d z Γ ( z ) Γ ( z ) = ψ 1 ( z ) = k = 0 1 ( z + k ) 2 {\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}}

che per z = 0 {\displaystyle z=0} diverge, mentre per z = 1 {\displaystyle z=1} diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

[ d d z Γ ( z ) Γ ( z ) ] z = 1 = ψ 1 ( 1 ) = k = 0 1 ( 1 + k ) 2 = k = 1 1 k 2 = ζ ( 2 ) = π 2 6 {\displaystyle \left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+k)^{2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

Bibliografia

Voci correlate

  • Funzione Gamma
  • Numero armonico

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Funzione poligamma, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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