In matematica, la formula integrale di Cauchy è uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Il teorema mette in relazione il valore di una funzione olomorfa in un punto con il suo integrale di contorno lungo una curva semplice chiusa.
Dalla formula di Cauchy dipendono numerose proprietà delle funzioni olomorfe.
Indice
1Enunciato
2Dimostrazione
3Generalizzazione
3.1Dimostrazione
4Applicazioni
4.1Derivate
4.1.1Dimostrazione
4.2Teorema della media
4.2.1Dimostrazione
4.3Stime
4.3.1Dimostrazione
4.4Inverso del teorema di rappresentazione integrale
4.4.1Dimostrazione
5Bibliografia
6Voci correlate
7Collegamenti esterni
Enunciato
Sia una funzione olomorfa definita su un insieme aperto del piano complesso . Sia una curva semplice chiusa contenuta in . Sia la regione racchiusa da percorsa in senso antiorario e sia un punto qualsiasi interno ad dove la funzione è definita, che non sia sulla curva , allora vale la relazione:
La formula di Cauchy esprime quindi il valore di una funzione in ogni punto del dominio mediante i valori che essa assume sul contorno di tale dominio, tramite un integrale di contorno.
Dimostrazione
Si consideri un cerchio centrato in di raggio che sia interamente contenuto in . Per il teorema integrale di Cauchy sono uguali i due integrali
Il secondo integrale può essere calcolato con la sostituzione , ottenendo
Ma per il teorema integrale di Cauchy l'integrale sul cerchio è indipendente dal raggio, pertanto si può calcolare per qualunque , in particolare si può far tendere a , e siccome è continua si ottiene
e quindi in definitiva
Generalizzazione
Sia una funzione olomorfa definita su un insieme aperto del piano complesso . Sia una curva chiusa contenuta in . Sia la regione racchiusa da percorsa in senso antiorario e sia un punto qualsiasi interno a dove la funzione è definita, che non sia sulla curva , allora vale la relazione:
Infine, dalla definizione di indice rispetto a una curva, si ottiene la tesi.
Applicazioni
Derivate
Dalla formula di Cauchy segue che ogni funzione olomorfa è derivabile infinite volte. Le derivate della funzione sono calcolabili tramite una formula analoga, valida nelle stesse ipotesi descritte sopra:
Dimostrazione
Si consideri un incremento in modo che . Utilizzando la rappresentazione integrale si ha:
Quindi:
passando al limite per si ottiene:
Per ottenere questo risultato si poteva pensare di derivare direttamente sotto il segno di integrale, ma la giustificazione di questo approccio è contenuta nell'analisi precedente. Ora però per calcolare le successive derivate si può derivare direttamente sotto il segno di integrale. Abbiamo già dimostrato che la formula di derivazione è vera per , pertanto procediamo per induzione: dimostriamo che se è vera per , allora è vera anche per :
Teorema della media
Il valore di una funzione analitica in un punto coincide con la media dei valori assunti dalla funzione sui punti di un cerchio di raggio arbitrario centrato in , ossia
Il raggio deve essere scelto in modo che il cerchio sia interamente contenuto nel dominio di analiticità della e non contenga punti singolari.
Dimostrazione
Basta utilizzare il teorema di rappresentazione integrale sul cerchio di raggio centrato in e usare la sostituzione ottenendo
Stime
Sia una funzione limitata , una curva chiusa contenuta nella regione di analiticità di , la lunghezza della curva e la distanza minima tra un punto e . Valgono allora le seguenti disuguaglianze:
Dimostrazione
Per la dimostrazione basta osservare le seguenti disuguaglianze nelle quali si è usata la disuguaglianza di Darboux considerando che e che
(EN) Eric W. Weisstein, Formula integrale di Cauchy, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) E.D. Solomentsev, Cauchy integral, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews, su math.fullerton.edu. URL consultato il 13 giugno 2013 (archiviato dall'url originale il 18 gennaio 2011).
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