Formula di Baker-Campbell-Hausdorff

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In matematica, la formula di Baker–Campbell–Hausdorff è la soluzione dell'equazione:

e^{Z}=e^{X}e^{Y},

per due grandezze $X$ e $Y$ non commutanti (ad esempio matrici quadrate). Questa formula collega i gruppi di Lie con le algebre di Lie esprimendo il logaritmo del prodotto di due elementi del gruppo di Lie come un elemento dell'algebra di Lie in coordinate canoniche.

La soluzione coinvolge le parentesi di Lie degli elementi $X$ e $Y$ ; la sua scrittura, interrotta al terzo ordine, è:

Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}([X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]])+\ldots

Come si può vedere, nel caso di parentesi di Lie nulla (gruppo di Lie abeliano) la formula si riconduce alla formula consueta per l'esponenziale tra numeri; i termini successivi coinvolgono commutatori sempre più annidati.

Questa formula prende il nome da Henry Frederick Baker^[1], John Edward Campbell^[2] e Felix Hausdorff^[3].

Note

^ H. Baker, Proc Lond Math Soc (1) 34 (1902) 347–360; ibid (1) 35 (1903) 333–374; ibid (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
^ H. Poincaré, Compt Rend Acad Sci Paris 128 (1899) 1065–1069; Camb Philos Trans 18 (1899) 220–255.
^ F. Hausdorff, "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.

Bibliografia

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