Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica

Un'equazione differenziale alle derivate parziali parabolica è un tipo di equazione differenziale alle derivate parziali (EDP) che può essere usata per descrivere diversi problemi scientifici come la diffusione del calore, o la diffusione delle onde sonore in acqua, in sistemi fisici e matematici con variabile temporale e che si comportano come la diffusione del calore all'interno di un solido.

Esempi di EDP paraboliche sono l'equazione del calore e il flusso di Ricci.

Definizione

Una EDP della forma:

A ∂ 2 u ∂ x 2 + B ∂ 2 u ∂ x ∂ y + C ∂ 2 u ∂ y 2 + D ∂ u ∂ x + E ∂ u ∂ y + F = 0 {\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial u}{\partial x}}+E{\frac {\partial u}{\partial y}}+F=0}

è parabolica se soddisfa la condizione:

B 2 − 4 A C = 0 {\displaystyle B^{2}-4AC=0}

Questa definizione è analoga a quella di una parabola nel piano in geometria analitica.

Un semplice esempio di EDP parabolica è l'equazione del calore nel caso unidimensionale:

∂ u ∂ t = k ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=k{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}

dove u ( t , x ) {\displaystyle u(t,x)} è la temperatura al tempo t {\displaystyle t} e alla posizione x {\displaystyle x} , e k {\displaystyle k} è costante.

Il simbolo ∂ u ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}} rappresenta la derivata parziale rispetto al tempo e allo stesso modo ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}} è la derivata parziale seconda rispetto a x {\displaystyle x} .

Questa equazione stabilisce che la temperatura di un dato punto a un determinato istante crescerà o scenderà con un tasso proporzionale alla differenza tra la temperatura a quel punto e la temperatura media attorno al punto. La quantità ∂ 2 u / ∂ x 2 {\displaystyle \partial ^{2}u/\partial x^{2}} indica quanto la temperatura è distante dal soddisfare la proprietà del valor medio delle funzioni armoniche.

Una generalizzazione dell'equazione del calore è:

∂ u ∂ t = L u {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=Lu}

dove L {\displaystyle L} è un operatore ellittico del second'ordine (ciò implica che L {\displaystyle L} sia anche positivo; il caso in cui L {\displaystyle L} è non-positivo è descritto sotto). Un sistema di questo tipo può essere nascosto in un'equazione della forma

∇ ⋅ ( a ( x ) ∇ u ( x ) ) + b ( x ) T ∇ u ( x ) + c u ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{T}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}

se la funzione matriciale a ( x ) {\displaystyle a(x)} ha un nucleo di dimensione 1.

Soluzione

Le EDP paraboliche di cui si è discusso hanno soluzione per ogni x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} e t > 0 {\displaystyle t>0} . Un'equazione della forma:

∂ u ∂ t = L u {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=Lu}

si considera parabolica se L {\displaystyle L} è funzione (eventualmente non lineare) di u {\displaystyle u} e delle sue derivate prima e seconda, con altre condizioni su L {\displaystyle L} . Con in tale tipo di equazione parabolica non lineare, esistono soluzioni per un periodo di tempo limitato: le soluzioni potrebbero dare luogo a singolarità anche per tempi finiti. La difficoltà dunque è determinare le soluzioni per tutto l'arco temporale, o più generalmente studiare le singolarità che sorgono. Questo è in generale abbastanza difficile, come nella soluzione della congettura di Poincaré attraverso il flusso di Ricci.

Equazioni paraboliche all'indietro

Si potrebbero considerare EDP della forma:

∂ u ∂ t = − L u {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-Lu}

dove L {\displaystyle L} è un operatore ellittico positivo. Questi problemi non sono necessariamente ben posti (le soluzioni potrebbero non esistere o crescere indefinitamente in tempi finiti), essi occorrono studiando la riflessione delle singolarità delle soluzioni a EDP diverse.[1]

Questa classe di equazioni è abbastanza legata alle normali equazioni iperboliche, che possono essere viste semplicemente considerando le cosiddette equazioni del calore all'indietro:

{ u t = Δ u su     Ω × ( 0 , T ) u = 0 su     ∂ Ω × ( 0 , T ) u = f su     Ω × { T } {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {su}}\ \ \Omega \times (0,T)\\u=0&{\textrm {su}}\ \ \partial \Omega \times (0,T)\\u=f&{\textrm {su}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}\end{cases}}}

Questa è essenzialmente la stessa cosa che avviene per le equazioni iperboliche all'indietro:

{ u t = − Δ u su     Ω × ( 0 , T ) u = 0 su     ∂ Ω × ( 0 , T ) u = f su     Ω × { 0 } {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {su}}\ \ \Omega \times (0,T)\\u=0&{\textrm {su}}\ \ \partial \Omega \times (0,T)\\u=f&{\textrm {su}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}\end{cases}}}

Note

  1. ^ M. E. Taylor, Reflection of singularities of solutions to systems of differential equations, in Comm. Pure Appl. Math., vol. 28, n. 4, 1975, pp. 457–478, DOI:10.1002/cpa.3160280403.

Bibliografia

  • Lawrence C. Evans, Partial differential equations (PDF)[collegamento interrotto], Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, 2nd, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2010 [1998], 2597943.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) A.P. Soldatov, Parabolic partial differential equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • (EN) A.V. Gulin, Parabolic partial differential equation, numerical methods, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
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