Dominio di Krull

In matematica, un dominio di Krull è un dominio d'integrità che è intersezione di una famiglia localmente finita di domini di valutazione discreta. I domini di Krull sono, allo stesso tempo, una generalizzazione dei domini noetheriani integralmente chiusi (e, in particolare, dei domini di Dedekind) e dei domini a fattorizzazione unica.

Prendono il loro nome da Wolfgang Krull (1899 – 1971).

Sia ${\displaystyle A}$ un anello commutativo unitario integro. ${\displaystyle A}$ è un dominio di Krull se esiste una famiglia ${\displaystyle \{V_{i}\}_{i\in I}}$ di domini di valutazione discreta (DVR) contenuti nel campo dei quozienti di ${\displaystyle A}$ tali che ${\displaystyle A=\bigcap _{i\in I}V_{i}}$ e, per ogni ${\displaystyle a\in A}$, esistono solo un numeri finito di ${\displaystyle V_{i}}$ tali che ${\displaystyle a}$ non è invertibile in ${\displaystyle V_{i}}$.

Equivalentemente, ${\displaystyle A}$ è un dominio di Krull se, per ogni ideale primo ${\displaystyle P}$ di altezza 1, la localizzazione ${\displaystyle A_{P}}$ è un DVR, ${\displaystyle A}$ è intersezione di queste localizzazioni e ogni elemento ${\displaystyle a\in A}$ è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1.

Essendo intersezione di anelli integralmente chiusi, ogni dominio di Krull è integralmente chiuso.

La proprietà di essere un dominio di Krull soddisfa alcune proprietà di stabilità: ogni localizzazione ${\displaystyle S^{-1}A}$ è ancora un dominio di Krull, così come la sua chiusura integrale in un'estensione finita del suo campo dei quozienti; analogamente, gli anelli dei polinomi ${\displaystyle A[\mathbf {X} ]}$ e delle serie formali ${\displaystyle A[[\mathbf {X} ]]}$ in un qualunque numero di indeterminate sono ancora domini di Krull (per ognuna delle tre definizioni di anello delle serie formali in infinite indeterminate^[1]). Al contrario, questa proprietà non è invariante rispetto al passaggio al quozienti: ad esempio, l'anello ${\displaystyle K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})}$ (dove ${\displaystyle K}$ è un campo) non è neppure integralmente chiuso.

L'intersezione di un numero finito o di un insieme localmente finito di domini di Krull è ancora un dominio di Krull, mentre l'intersezione di una famiglia arbitraria può non esserlo.

Tutti i domini noetheriani integralmente chiusi sono domini di Krull: se, infatti, ${\displaystyle P}$ è un primo di altezza 1, la localizzazione ${\displaystyle A_{P}}$ è un dominio locale noetheriano integralmente chiuso di dimensione 1, e quindi è un DVR; inoltre, ogni ${\displaystyle a\in A}$ è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1 (poiché l'anello ${\displaystyle A/aA}$ ha un numero finito di primi minimali). Viceversa, tutti i domini di Krull di dimensione 1 sono noetheriani, ovvero sono domini di Dedekind.

Diversi teoremi relativi agli anelli noetheriani si generalizzano ai domini di Krull, sebbene sia a volte necessario restringerne il campo d'applicazione. Ad esempio, i domini di Krull, come gli anelli noetheriani, verificano il teorema dell'ideale principale, mentre un teorema solo parzialmente valido è quello sull'esistenza della decomposizione primaria: se ${\displaystyle I}$ è un ideale di un dominio di Krull, ${\displaystyle I}$ può non essere decomponibile, ma lo è sicuramente se è principale.

Un altro legame naturale tra i domini noetheriani e i domini di Krull è dato dal teorema di Mori-Nagata, che afferma che la chiusura integrale di un dominio noetheriano nel suo campo dei quozienti (o, più in generale, in un'estensione finita del suo campo dei quozienti) è un dominio di Krull. Più in generale, la chiusura integrale di un anello noetheriano ${\displaystyle A}$ ridotto (ma non necessariamente integro) nel suo anello totale dei quozienti è il prodotto diretto di ${\displaystyle r}$ domini di Krull, dove ${\displaystyle r}$ è il numero dei primi minimali di ${\displaystyle A}$.

Tutti i domini di Krull sono atomici, ovvero ogni elemento può essere espresso come prodotto di elementi irriducibili.

Ogni dominio a fattorizzazione unica (UFD) è un dominio di Krull, in quanto i primi di altezza 1 di un UFD sono principali; viceversa, un dominio di Krull i cui primi di altezza 1 sono principali sono a fattorizzazione unica. Per "misurare" quanto un dominio di Krull è lontano dall'essere a fattorizzazione unica si può introdurre un gruppo, detto gruppo delle classi, che generalizza il concetto di gruppo delle classi di un dominio di Dedekind.

Un ideale frazionario ${\displaystyle I}$ di un dominio di Krull ${\displaystyle A}$ con campo dei quozienti ${\displaystyle K}$ è divisoriale se ${\displaystyle I=(A:(A:I))}$, dove ${\displaystyle (I:J):=\{x\in K\mid xJ\subseteq I\}}$. L'insieme degli ideali divisoriali è un gruppo sotto l'operazione di moltiplicazione tra ideali, che è isomorfo al gruppo abeliano libero generato dagli ideali primi di altezza 1; in particolare, ogni ideale divisoriale ${\displaystyle I}$ ha una decomposizione primaria

${\displaystyle I=P_{1}^{(e_{1})}\cap \cdots \cap P_{n}^{(e_{n})}}$

dove i ${\displaystyle P_{i}}$ sono ideali primi di altezza 1, gli ${\displaystyle e_{i}}$ sono interi positivi e ${\displaystyle P_{i}^{(e_{i})}=P_{i}^{e_{i}}A_{P_{i}}\cap A}$ è la ${\displaystyle e_{i}}$-esima potenza simbolica di ${\displaystyle P_{i}}$.

Il gruppo delle classi di ${\displaystyle A}$ è definito come il quoziente tra il gruppo degli ideali divisoriali e il sottogruppo degli ideali frazionari principali; esso si riduce al gruppo banale se e solo se ${\displaystyle A}$ è a fattorizzazione unica, ovvero se e solo se tutti gli ideali divisoriali sono principali. Se ${\displaystyle A}$ è un dominio di Dedekind, allora il gruppo delle classi di ${\displaystyle A}$ non è altro che il quoziente tra il gruppo degli ideali invertibili e il sottogruppo degli ideali frazionari principali.

• Robert Gilmer, Multiplicative ideal theory, New York, Marcel Dekker Inc., 1972, ISBN 0824712420.
• Pierre Samuel, Lectures on Unique Factorization Domains (PDF), Bombay, Tata Institute Of Fundamental Research, 1964.
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986, ISBN 978-0521367646.
• Irena Swanson e Craig Huneke, Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules, Cambridge University Press, 2006, ISBN 978-0-521-68860-4.

• (EN) V.I. Danilov, Krull ring, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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