Distribuzione di Fréchet

Distribuzione di Fréchet
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle \alpha >0\ }$
Supporto	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
Funzione di densità	${\displaystyle \alpha x^{-1-\alpha }e^{-x^{-\alpha }}\ }$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle e^{-x^{-\alpha }}\ }$
Valore atteso	${\displaystyle \Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}$ se ${\displaystyle \alpha >1}$ (con ${\displaystyle \Gamma }$ la funzione Gamma)
Mediana	${\displaystyle \left({\frac {1}{\log 2}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$
Moda	${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$
Varianza	${\displaystyle \Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}}$ se ${\displaystyle \alpha >2}$ (con ${\displaystyle \Gamma }$ la funzione Gamma)
Manuale

In teoria delle probabilità la distribuzione di Fréchet è una distribuzione di probabilità continua definita sui numeri reali positivi.

Prende il nome dal matematico francese Maurice René Fréchet, che la descrisse nel 1927.^[1]

La distribuzione di Fréchet di parametro ${\displaystyle \alpha >0}$ è definita sui reali positivi con funzione di ripartizione

${\displaystyle F(x)=e^{-x^{-\alpha }}}$

la sua funzione di densità di probabilità è

${\displaystyle f(x)=\alpha x^{-\alpha -1}e^{-x^{-\alpha }}}$.

La distribuzione di Fréchet di parametro ${\displaystyle \alpha }$ ha momenti semplici

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx=\alpha \int _{0}^{\infty }x^{k-\alpha -1}e^{-x^{-\alpha }}dx}$,

Applichiamo un semplice cambio di variabili ${\displaystyle t=x^{-\alpha },\,dt=-\alpha x^{-\alpha -1}dx}$

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}dt}$

Questo integrale converge qualora ${\displaystyle 1-{\frac {k}{\alpha }}>0\Rightarrow k<\alpha }$

${\displaystyle \mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)}$ se ${\displaystyle k<\alpha }$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ è la funzione Gamma.

In particolare una variabile aleatoria con questa distribuzione

• se ${\displaystyle \alpha >1}$ ha speranza matematica ${\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})}$ e
• se ${\displaystyle \alpha >2}$ ha varianza ${\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-\Gamma ^{2}(1-{\tfrac {1}{\alpha }})}$

I quantili ${\displaystyle q_{a}}$ di ordine ${\displaystyle a}$ si esprimono tramite l'inversa della funzione di ripartizione,

${\displaystyle q_{a}=F^{-1}(a)=\left({\frac {1}{\log {\tfrac {1}{a}}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$.

In particolare la mediana è

${\displaystyle q_{1/2}=({\tfrac {1}{\log 2}})^{\frac {1}{\alpha }}}$.

La moda della distribuzione è ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$.

La distribuzione di Fréchet può essere generalizzata tramite altri due parametri, ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \sigma }$, descrivendo una variabile aleatoria ${\displaystyle {\tfrac {X-\mu }{\sigma }}}$ al posto di ${\displaystyle X}$; la funzione di ripartizione corrispondente è

${\displaystyle F(x)=e^{-({\frac {x-\mu }{\sigma }})^{-\alpha }}}$.

La distribuzione di Fréchet è una distribuzione generalizzata dei valori estremi, una famiglia di distribuzioni di probabilità che descrive anche la distribuzione di Weibull nel caso particolare in cui un parametro sia uguale a 1 e, come caso limite, la distribuzione di Gumbel.

• Distribuzione generalizzata dei valori estremi
• Funzione Gamma
• Teoria dei valori estremi

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su distribuzione di Fréchet

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