Persamaan fungsional

Dalam matematika, persamaan fungsional^[1][2] mengacu pada suatu fungsi yang tidak diketahui dalam suatu persamaan. Contoh persamaan fungsional di antaranya persamaan diferensial dan persamaan integral. Akan tetapi, dalam pengertian yang sempit, persamaan fungsional berarti persamaan yang mengaitkan beberapa nilai dari fungsi yang sama. Sebagai contoh, fungsi logaritma dicirikan dengan persamaan fungsional logaritma ${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y)}$.

Jika misalkan domain fungsi dari fungsi yang tak diketahui mengandung bilangan asli, maka fungsi itu dipandang sebagai barisan, dan dalam pengertian yang sempit, dapat disebut relasi rekurensi. Jadi, istilah persamaan fungsional dipakai untuk fungsi bilangan real dan bilangan kompleks. Lain daripada itu, syarat kemulusan kerapkali diasumsi sebagai penyelesaian, karena tanpa syarat tersebut, banyak persamaan fungsional mempunyai penyelesaian yang tak beraturan. Sebagai contoh, fungsi gamma memenuhi persamaan fungsional ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ dan nilai awal ${\displaystyle f(1)=1.}$ Sejatinya ada banyak fungsi yang memenuhi syarat-syarat tersebut, tetapi fungsi gamma merupakan fungsi yang unik, karena fungsi ini meromorfik di seluruh bidang kompleks, and cembung secara logaritmik untuk x bilangan real sekaligus bernilai positif (teorema Bohr–Mollerup).

Lihat pula

• Persamaan fungsional (fungsi-L)
• Persamaan Bellman
• Pemrograman dinamis
• Fungsi implisit
• Persamaan diferensial fungsional

Catatan

1. ^ Rassias, Themistocles M. (2000). Functional Equations and Inequalities. 3300 AA Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. hlm. 335. ISBN 0-7923-6484-8. 
2. ^ Hyers, D. H.; Isac, G.; Rassias, Th. M. (1998). Stability of Functional Equations in Several Variables. Boston: Birkhäuser Verlag. hlm. 313. ISBN 0-8176-4024-X. 

Referensi

• János Aczél, Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, 1966, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232 .
• János Aczél & J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables, Cambridge University Press, 1989.
• C. Efthimiou, Introduction to Functional Equations, AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6 ; online.
• Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer, 2009.
• Marek Kuczma, Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, second edition, Birkhäuser, 2009.
• Henrik Stetkær, Functional Equations on Groups, first edition, World Scientific Publishing, 2013.
• Christopher G. Small (3 April 2007). Functional Equations and How to Solve Them. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8. 

Pranala luar

• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text (archived) on functional equations in problem solving.