Wiener-folyamat

A Wiener-folyamat egy időben folytonos sztochasztikus folyamat, melyet Norbert Wiener (1894–1964), amerikai matematikusról neveztek el. Ezt a folyamatot Brown-mozgásnak is szokták hívni. Ez az egyik legismertebb Lévy-folyamat, és gyakran előfordul az alkalmazott matematikában, a közgazdaságban, a fizikában, és a pénzügyi folyamatoknál.

A Wiener-folyamat fontos szerepet játszik az elméleti és az alkalmazott matematikában. Az elméleti matematikában a Wiener-folyamat segíti az időben folytonos martingál kutatásokat. A Wiener-folyamat kulcsfontosságú folyamat, mely lehetővé teszi jóval bonyolultabb sztochasztikus folyamatok leírását. Alapvető szerepe van a sztochasztikus számításoknál, a diffúziós folyamat és a potenciál elméletnél.

Az alkalmazott matematikában a Wiener-folyamatot a Gauss-féle fehér zaj integráljának kifejezésére használják, és így ez egy hasznos modell az elektronikai műszaki tudományokban a zaj modellezésre, a szűrő (jelfeldolgozás) elméletben, és a szabályozáselméletben az ismeretlen erők analízisénél. A Schrödinger-egyenlet egy megoldása is kifejezhető a Wiener-folyamattal. A pénzügyi folyamatok matematikai elméletében is alkalmazzák, különösen a Black–Scholes-modellben.

A Wiener-folyamat jellemzői

Definíció

Wiener-folyamat alatt olyan W : Ω × [ 0 , ∞ ) → R {\displaystyle W\colon \Omega \times [0,\infty )\to \mathbb {R} } sztochasztikus folyamatot értünk, amely kielégíti az alábbi négy tulajdonságot:

  1. W 0 = 0 {\displaystyle W_{0}=0} , azaz ∀ ω ∈ Ω : W ( ω , 0 ) = 0 {\displaystyle \forall \omega \in \Omega \colon W(\omega ,0)=0}
  2. Folytonos trajektóriájú, azaz minden ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } esetén a t ↦ W ( ω , t ) {\displaystyle t\mapsto W(\omega ,t)} leképezés mindenhol folytonos
  3. Minden 0 < t 1 < t 2 < . . . < t r {\displaystyle 0<t_{1}<t_{2}<...<t_{r}} véges indexhalmazra a W t 1 − W t 0 , W t 2 − W t 1 , . . . , W t r − W t r − 1 {\displaystyle W_{t_{1}}-W_{t_{0}},W_{t_{2}}-W_{t_{1}},...,W_{t_{r}}-W_{t_{r-1}}} változók függetlenek egymástól.
  4. Minden t ≥ s ≥ 0 {\displaystyle t\geq s\geq 0\,} esetén W t − W s ∼ N ( 0 , t − s ) {\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim N(0,t-s)\,} .

Mindez az ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} valószínűségi mező fölött. W t {\displaystyle W_{t}} alatt az ω ↦ W ( ω , t ) {\displaystyle \omega \mapsto W(\omega ,t)} valószínűségi változót értjük.

N(μ, σ2) normális eloszlás μ várható értékkel, és σ2 szórásnégyzettel. A független növekmények azt jelentik, hogy ha 0 ≤ s1 < t1 ≤ s2 < t2, akkor Wt1−Ws1 és Wt2−Ws2 független valószínűségi változók, és hasonló feltételek érvényesek n növekményre is. A Wiener-folyamat egy másik jellemzése az úgynevezett Lévy-féle leírás, mely azt mondja, hogy a Wiener-folyamat majdnem biztosan folytonos martingál W0 = 0 mellett, és a kvadratikus variáció [Wt, Wt] = t (mely azt jelenti, hogy Wt2−t szintén martingál). Egy harmadik jellemzés szinusz sorokkal történik, ahol az együtthatók független valószínűségi változók. Ez a megközelítés a Karhunen–Loève-tételt használja fel.

Egy Wiener-folyamat a természetes filtrációjában martingál.

Kapcsolódó folyamatok

Brown-mozgás egy gömb felületén

Ez a sztochasztikus folyamat:

X t = μ t + σ W t {\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}\,}

a Wiener-folyamat μ drifttel, és elenyésző σ2. szórásnégyzettel. Ez a folyamat megfelel a Lévy-folyamatnak. Speciális változatai a Brown-híd és a Brown-elhajlás.

A geometrikus Brown-mozgás:

e [ β t − ( α 2 t / 2 ) + α W t ] . {\displaystyle e^{[\beta t-(\alpha ^{2}t/2)+\alpha W_{t}]}.\,}

Ez egy sztochasztikus folyamat, mely sohasem vesz fel negatív értéket, mint például a tőzsde értéke. Az alábbi sztochasztikus folyamat, a Ornstein–Uhlenbeck-folyamat.

X t = e − t W e 2 t {\displaystyle {X_{t}=\mathrm {e} ^{-t}W_{\mathrm {e} ^{2t}}}}

Az integrált Brown-mozgás

A Wiener-folyamat idő szerinti integrálja: W ( − 1 ) ( t ) := ∫ 0 t W ( s ) d s {\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)ds} Ezt integrált Brown-mozgásnak, vagy integrált Wiener-folyamatnak hívják. Az integrált Wiener-folyamat több alkalmazásnál is szerepel, mint normális eloszlás, zéró várható értékkel és t 3 / 3 {\displaystyle t^{3}/3} szórásnégyzettel. A Wiener-folyamat kovarianciája t ∧ s {\displaystyle t\wedge s} .[1]

Irodalom

  • Durrett, R: Probability: theory and examples,4th edition. (hely nélkül): Cambridge University Press. 2000. ISBN 0-521-76539-0  

Kapcsolódó szócikkek

További információk

  • http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/brownian/applet.html Archiválva 2005. december 14-i dátummal a Wayback Machine-ben
  • https://www.youtube.com/watch?v=ernnQJwaKTs (Brown-mozgás, YouTube)

Források

  1. ↑ Forum, "Variance of integrated Wiener process" Archiválva 2013. december 2-i dátummal a Wayback Machine-ben, 2009.