Szögfelező

A szögfelező a szöget két egyenlő szögre osztja. A szögfelező minden pontja azonos távolságra van a szög száraitól és átmegy a szög csúcsán.

A konvex szögtartományban a két szögszártól azonos távolságra lévő pontok egy félegyenest alkotnak. A szögtartományon kívül e félegyenes meghosszabbítását szoktuk a szögfelezőnek tekinteni, de a félegyenesen kívül is vannak pontok, melyek a szögszáraktól, mint félegyenesektől azonos távolságra vannak.

Egyenesek által alkotott szögnél a két egyenestől azonos távolságra lévő pontok két egyenest alkotnak, melyek merőlegesek egymásra.

A szögfelező szerkesztése

Egy szög szögfelezőjét meg lehet szerkeszteni körzővel és vonalzóval a következő módon: olyan kört rajzolunk, melynek középpontja a szög csúcsa. A körvonal a szög mindkét szárát elmetszi. Rajzoljunk két azonos sugarú kört, melyeknek a középpontja a két metszéspont. A két kör két metszéspontja meghatározza a szöget felező egyenest.

A háromszög szögfelezői

Belső szögfelezők és háromszög beírt köre

A háromszög belső szögfelezői azok az egyenesek, melyek a háromszög belső szögeit elfelezik. Ezeknek az egyeneseknek minden pontja azonos távolságra van a háromszög két-két oldalegyenesétől, mivel szögfelezők.

A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ezt beláthatjuk a következőképpen: Az ${\displaystyle A}$ csúcson és a ${\displaystyle B}$ csúcson átmenő szögfelezők metszéspontja egyenlő távol van a ${\displaystyle b}$ és ${\displaystyle c}$ oldalegyenestől (mivel az ${\displaystyle A}$ csúcson átmenő szögfelező pontja) valamint a ${\displaystyle c}$ és ${\displaystyle a}$ oldalegyenesektől is (mivel a ${\displaystyle B}$ csúcson átmenő szögfelezőnek is pontja). Tehát mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van, így ${\displaystyle a}$-tól és ${\displaystyle b}$-től is, ezért rajta van a ${\displaystyle C}$-n átmenő szögfelezőn.

A belső szögfelezők metszéspontja mindhárom oldaltól azonos távolságra van, ezért ez a pont a háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja. A kör sugara a középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz.

A szögfelezőtétel (Apollóniosz tétele)

Bővebben: Szögfelezőtétel

A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, vagyis ${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {a}{c}}}$.

Bizonyítás:

Meghosszabbítjuk a háromszög ${\displaystyle c}$ oldalát ${\displaystyle B}$-n túl ${\displaystyle a}$-val, így kapjuk meg ${\displaystyle D}$-t. ${\displaystyle CBD}$ egyenlő szárú háromszög, ennek a ${\displaystyle B}$ csúcsnál lévő külső szöge ${\displaystyle \beta }$, az alapon fekvő szögei ${\displaystyle {\frac {\beta }{2}}}$ nagyságúak. Az ${\displaystyle ABC}$ háromszög ${\displaystyle c}$ oldala és a szögfelező által bezárt szög egyállású a ${\displaystyle CBD}$ háromszög ${\displaystyle D}$ csúcsnál levő szögével, mivel a két szög azonos nagyságú és az egyik száruk egy egyenesbe esik. Ezért a szögek másik szára – a szögfelező és a ${\displaystyle CD}$ oldal – is párhuzamosak egymással. Az ${\displaystyle A}$ csúcsnál lévő szögre a párhuzamos szelők tételét alkalmazva kapjuk az ${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {a}{c}}}$ egyenlőséget.

Külső szögfelezők és a háromszög hozzáírt körei

A háromszög külső szögeit megfelezve a külső szögfelezőket kapjuk. A szögfelező minden pontja egyenlő távol van a háromszög két oldalegyenesétől. Két-két szögfelező egy pontban metszi egymást. A metszéspont a hozzáírható kör középpontja, mivel mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van.

A háromszög egy csúcsból húzott belső és külső szögfelezője merőleges egymásra.

Források

• Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 185, 206, 359. oldal.
• Matematikai kisenciklopédia. Szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal.