Riemann-tenzor

A Riemann-tenzor vagy Riemann–Christoffel-tenzor a tér görbületét leíró tenzor, melyet Bernhard Riemannról és Elwin Bruno Christoffelről neveztek el.

Definíció

A sokaság belső geometriájára jellemző görbületet a görbületi tenzor vagy Riemann-tenzor írja le. Az u és v vektormezők kommutációs tulajdonságait vizsgálva, definiálhatjuk a következő vektort


R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w − ∇ [ u , v ] w {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w}

Itt nabla a kovariáns deriváltat jelöli. A fenti egyenletben fellépő R tenzort nevezzük görbületi vagy Riemann-tenzornak.

A Riemann-tenzor lokális koordinátákban

A Riemann-tenzort felírhatjuk lokális koordinátákban a Christoffel-szimbólumok segítségével:

R ρ σ μ ν = ∂ μ Γ ν σ ρ − ∂ ν Γ μ σ ρ + Γ μ λ ρ Γ ν σ λ − Γ ν λ ρ Γ μ σ λ {\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}


ahol ∂ μ = ∂ / ∂ x μ {\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }} , és a kétszer előforduló indexekre automatikus összegzés értentő (Einstein-féle összegzési konvenció).

A teljesen kovariáns alakja pedig a következő

R ρ σ μ ν = g ρ ζ R ζ σ μ ν {\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }}

itt g ρ ζ {\displaystyle g_{\rho \zeta }} a metrikus tenzort jelöli.

Bianchi-azonosságok

A Riemann-tenzorral kapcsolatban bebizonyíthatóak az ún. Bianchi-azonosságok.

Az első Bianchi-azonosság a következő:

R a b c d + R a c d b + R a d b c = 0 {\displaystyle R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}^{}=0}

Ezt szokás az alábbi rövidebb formában is használni:

R a [ b c d ] = 0 {\displaystyle R_{a[bcd]}^{}=0}

itt a szögletes zárójel a tenzor antiszimmetrikus részét jelöli.

A második Bianchi-azonosság pedig a következő alakú:

R a b c d ; e + R a b d e ; c + R a b e c ; d = 0 {\displaystyle R_{abcd;e}^{}+R_{abde;c}^{}+R_{abec;d}^{}=0}

vagy rövid formában

R a b [ c d ; e ] = 0 {\displaystyle R_{ab[cd;e]}^{}=0}

ahol a pontosvessző a kovariáns deriváltat jelöli.

Szimmetriái

A Riemann-tenzor az indexpárjaiban szimmetrikus

R a b c d = R c d a b {\displaystyle R_{abcd}^{}=R_{cdab}}

Az első két indexében és az utolsó két indexében pedig antiszimmetrikus:

R a b c d = − R b a c d ,         R a b c d = − R a b d c {\displaystyle R_{abcd}^{}=-R_{bacd},\ \ \ \ R_{abcd}^{}=-R_{abdc}}

Források

  • Fizika Fizikaportál
  • Matematika Matematikaportál