Gompertz-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Gompertz-eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás. Ez az eloszlás főként az időskori halálozási valószínűség modellezésre szolgál. Biztosítási matematikában, biológiai tudományokban és demográfiában a Gompertz-eloszlásnak egy általánosabb formáját is használják (Gompertz–Makeham mortalitási törvény).


Tulajdonságok

Valószínűség-sűrűségfüggvény

A Gompertz-eloszlás valószínűség-sűrűségfüggvénye:

f ( x ; η , b ) = b η e b x e η exp ⁡ ( − η e b x ) for  x ≥ 0 , {\displaystyle f\left(x;\eta ,b\right)=b\eta e^{bx}e^{\eta }\exp \left(-\eta e^{bx}\right){\text{for }}x\geq 0,\,}

ahol b > 0 {\displaystyle b>0\,\!} a skálaparaméter, és η > 0 {\displaystyle \eta >0\,\!} az alakparaméter.

Kumulatív eloszlásfüggvény

A Gompertz-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

F ( x ; η , b ) = 1 − exp ⁡ ( − η ( e b x − 1 ) ) , {\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),}

ahol η , b > 0 , {\displaystyle \eta ,b>0,} és x ≥ 0 . {\displaystyle x\geq 0\,.}

Momentumgeneráló függvény

E ( e − t X ) = η e η E t / b ( η ) {\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tX}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}

ahol

E t / b ( η ) = ∫ 1 ∞ e − η v v − t / b d v ,   t > 0. {\displaystyle {\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0.}

A függvény alakja

A Gompertz-eloszlás flexibilis eloszlási függvény, ahol a görbe ferdesége jobbra és balra is elmozdulhat. A Gompertz-eloszlás függvény különböző formákat (alakzatokat) vehet fel, az alakparaméter ( η {\displaystyle \eta \,\!} ) értékétől függően:

  • Ha η ≥ 1 , {\displaystyle \eta \geq 1,\,} , a valószínűség-sűrűségfüggvény 0 modusú.
  • Ha 0 < η < 1 , {\displaystyle 0<\eta <1,\,} a valószínűség-sűrűségfüggvény modusa
x ∗ = ( 1 / b ) ln ⁡ ( 1 / η ) with  0 < F ( x ∗ ) < 1 − e − 1 = 0 , 632121 {\displaystyle x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{with }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0,632121}

Kapcsolódó eloszlások

  • Ha X a Gumbel-eloszlásból eredő mintavétel eredménye, amíg Y negatív, és X=–Y, akkor X-nek Gompertz-eloszlása van.
  • A Gamma-eloszlás a Gompertz-eloszlás egy természetes konjugáltja, az ismert b . {\displaystyle b\,\!.} skálaparaméterrel.
  • Amikor η {\displaystyle \eta \,\!} a gamma-eloszlás szerint változik, α {\displaystyle \alpha \,\!} alakparaméterrel, és β {\displaystyle \beta \,\!} skálaparaméterrel, akkor az x {\displaystyle x} eloszlása Gamma/Gompertz.
Gompertz-eloszlás sűrűségfüggvény
Gompertz kumulatív eloszlásfüggvény

Irodalom

  • Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas: Implementing the Gamma/Gompertz/NBD Model in MATLAB. (hely nélkül): Cergy-Pontoise: ESSEC Business School. 2011.  
  • Sheikh, A. K.; Boah, J. K.; Younas, M: Truncated Extreme Value Model for Pipeline Reliability. (hely nélkül): Reliability Engineering and System Safety 25 (1). 1989. 1–14. o.  

Kapcsolódó szócikkek