Forgástest

Forgástest felszíne
Forgástest térfogata

Forgástest olyan geometriai test, mely egy síkidom síkjában fekvő, azt nem metsző egyenes, mint tengely körüli megforgatásából származtatható. A forgástest az a test, melyet a síkidom forgatása közben súrolt felület és az alapkörlap, valamint a fedőkörlap határol.

Szigorúbb definíció szerint forgástestek a hengerszimmetrikus testek. Forgásszimmetrikusnak az olyan alakzatot nevezik, melynél van olyan elforgatás, mely az alakzatot önmagába viszi át. A teljes forgásszimmetria esetén az alakzat helyzetét a forgástengely körül végrehajtott semmilyen elforgatás nem változtatja meg. Ezt térbeli alakzatnál hengerszimmetrikus alakzatnak nevezik. A hengerszimmetrikus testek a forgástestek.

A számítógéppel segített tervezőrendszerek (CAD) forgástestnek nevezik azokat a geometriai testeket is, melyeket egy síkidom tetszőleges szöggel való, tehát nem teljes megforgatásakor súrol. Ezek a szigorúbb definíció szerint nem forgástestek.

A forgástest olyan síkmetszetét, mely tartalmazza a szimmetriatengelyt, meridiánmetszetnek nevezik.

A forgástest térfogata

Legyen a meridiángörbe egy f(x) folytonos, nem negatív függvény az a≤x≤b tartományban. Ha a forgástengely az x tengely, akkor a keletkező forgástest térfogata:

V = π ∫ a b f 2 ( x ) d x {\displaystyle V=\pi \int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)dx}

A forgástest felszíne

Az f(x): [ a ; b ] ⊂ R → R ; x ↦ f ( x ) {\displaystyle [a;b]\subset R\rightarrow R;x\mapsto f(x)} , az [a;b]-n folytonos függvény esetén a

F = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x {\displaystyle F=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}dx\,}

integrál adja az f(x) függvény x tengely körüli elforgatásával kapott forgástest palástjának területét. (Így a forgásfelület felszínét is meghatározhatjuk tehát.)

A Pappus–Guldin-tételek

A forgástestek térfogatát és felszínét a Pappus–Guldin-tételek segítségével a következőképpen lehet kiszámolni: Ezek szerint a felszín egyenlő a származtató síkidom s kerületének és annak C súlypontja rs.2π útjának a szorzatával:

F = s ⋅ r s ⋅ 2 π {\displaystyle F=s\cdot r_{s}\cdot 2\pi }

A forgástest térfogata pedig egyenlő a származtató síkidom (meridiánmetszet) A területének és a meridiánmetszet CA súlypontja Rs.2π útjának szorzatával:

V = A ⋅ R s ⋅ 2 π {\displaystyle V=A\cdot R_{s}\cdot 2\pi }

Példák forgástestekre:

Források

  • Hajós György: Bevezetés a geometriába Kilencedik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. ISBN 963 18 31736
  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091