Einstein-egyenletek

A Riemann-geometriában a tér metrikáját a metrikus tenzor ( g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} ) határozza meg. Az általános relativitáselméletben a tömeg térbeli eloszlása határozza meg a metrikus tenzort. Az ezen összefüggést leíró tenzoregyenletet (ami 10 független skalár egyenletet jelent) hívjuk Einstein-egyenleteknek.

Matematikai alak

Az Einstein-egyenletek matematikai alakja a következő:

G μ ν + Λ g μ ν = − 8 π G c 2 T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}T_{\mu \nu }}

ahol G μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }} az Einstein-tenzor, Λ {\displaystyle \Lambda \,} a kozmológiai állandó(amit élete legnagyobb tévedésének nevezett), G {\displaystyle G\,} a gravitációs állandó, c {\displaystyle c\,} a fénysebesség, T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} pedig az energia-impulzus tenzor.

Ezt először Albert Einstein közölte 1915-ben.[1] Az Einstein-tenzor kifejezhető a Riemann-féle görbületi tenzor nyomával, a Ricci-tenzorral a következő alakú (ezt 1915 végén Einsteintől függetlenül David Hilbert is levezette):

G μ ν = R μ ν − 1 2 R g μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }}

Tehát az Einstein-egyenletek teljes alakja:

R μ ν − 1 2 R g μ ν + g μ ν Λ = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}

Fizikai vonatkozások

A fenti tenzoregyenlet négy dimenzióban (3 tér- és 1 időváltozó esetén) 16 skaláregyenletet jelent. Az Einstein-egyenletek szimmetriája miatt ezek közül csak 10 független. Ez a 10 független egyenlet egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet-rendszert alkot, melynek megoldása szolgáltatja a gravitáció modern fizikáját.

Közelítések

Anyagmentes eset

Vákuum esetén (tehát ha nincs anyag a téridőben) az Einstein-egyenletek jobb oldala zérus. Ekkor tehát

R μ ν = 1 2 R g μ ν . {\displaystyle R_{\mu \nu }={1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }\,.}

Ezt g μ ν {\displaystyle g^{\mu \nu }} -vel összeejtve

R = 1 2 R 4 = 2 R {\displaystyle R={1 \over 2}R\,4=2R\,}

adódik, ahonnan

R = 0 {\displaystyle R=0\,}

következik. Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe a következőt kapjuk

R μ ν = 0 . {\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}

Ezek az általános relativitáselmélet üres-tér egyenletei. Ezen egyenletek megoldásai szolgáltatják az összes vákuum-megoldásokat. Például a Schwarzschild vagy a Kerr megoldásokat.

Irodalom

  • Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976, ISBN 963 17 7951 3
  • Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
  • Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 963-05-8423-9

Jegyzetek

  1. ↑ Einstein, Albert (1915. november 25.). „Die Feldgleichungen der Gravitation”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847. o. [2016. október 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2006. szeptember 12.)  

Források

  • Fizika Fizikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap