Ciolkovszkij-egyenlet

A Ciolkovszkij-egyenlet az idealizált rakéta mozgását írja le. Nevét Konsztantyin Eduardovics Ciolkovszkij orosz kutatóról kapta, aki munkássága során sokat foglalkozott az űrutazással, és ő alapozta meg tudományosan a többlépcsős rakéták elméletét is.

Ciolkovszkij rakéta-egyenlete idealizált gravitáció és légellenállás nélküli (vákuum) esetre:

${\displaystyle v(t)=v_{g}\cdot \ln \left({\frac {m_{0}}{m(t)}}\right)}$

Ahol:

${\displaystyle v\,}$ a rakéta sebessége a t időpillanatban,

${\displaystyle v_{g}\,}$ a rakétát elhagyó gázsugár sebessége a rakétához képest (jellemző érték kémiai hajtóanyag esetén: 4,5 km/s),

${\displaystyle m_{0}\,}$ a rakéta induló tömege és

${\displaystyle m\,}$ a rakéta tömege az indulástól számított t idő múlva.

Az egyenlet levezetése

Jelöljük a rakétából kiáramló gázsugár a rakétához képest állandó sebességét v_g-vel, az inerciarendszerhez képesti pillanatnyi sebességét pedig v_gi-vel, az indulástól számított t idő elteltével a rakéta tömegét m-el, t + dt időpillanatban a rakéta tömege pedig legyen m - dm. A rakéta a t-ik időpillanatban mért P₁ impulzusára az alábbi összefüggés írható:

${\displaystyle P_{1}=m\cdot v\,}$

A t + dt időpontban a P₂ impulzusa pedig így írható:

${\displaystyle P_{2}=(m-dm)\cdot (v+dv)+dm\cdot v_{gi}\,}$

A két impulzus különbsége, ha a másodrendűen kicsi dm.dv_gi tagot elhanyagoljuk:

${\displaystyle dP=P_{2}-P_{1}=m\cdot dv+dm\cdot (v_{gi}-v)\,}$,

azonban, mivel a gázsugár relatív sebessége a rakétához képest

${\displaystyle v_{g}=v_{gi}-v\,}$,

és mivel a rakétára semmiféle külső erő nem hat, a két impulzus különbsége nulla, ezért írhatjuk:

${\displaystyle m\cdot dv=-dm\cdot v_{g}\,}$,

A rakéta pillanatnyi m tömegével elosztva mindkét oldalt:

${\displaystyle dv=-{\frac {dm}{m}}\cdot v_{g}\,}$,

a rakétamozgás differenciálegyenletéhez jutunk, aminek megoldása egyszerűen integrálással történik:

${\displaystyle \int _{0}^{v}\mathrm {d} v+\int _{m_{0}}^{m}v_{g}\cdot {\frac {\mathrm {d} m}{m}}=0}$

és innen a rakéta sebessége:

${\displaystyle v=v_{g}\cdot \ln \left({\frac {m_{0}}{m}}\right)}$

Források

• К. Э. Циолковский, Исследование мировых пространств реактивными приборами, 1903.
• Ciolkovszkij fenti műve PDF formátumban