Boltzmann-tényező

A Boltzmann-tényező a fizika egyik szakterminusa, egy súlyzó tényező, amely meghatározza egy többállapotú rendszerben az i állapotban lévő részecske relatív valószínűségét, amikor a rendszer termodinamikus egyensúlyban van T hőmérsékleten.

Normál esetben a Boltzmann-tényezőt a kanonikus halmazok leírásánál alkalmazzák. A nagy kanonikus halmazok esetén a Gibbs-tényező használata előnyösebb, mely figyelembe veszi a részecske mozgását a rendszer és a környezet között. Annak a valószínűsége, hogy egy rendszer ${\displaystyle E_{i}}$ állapotban van:

${\displaystyle P(E_{i})={\frac {1}{Z}}\exp {(-\beta E_{i}\,)}}$

ahol ${\displaystyle \beta }$ :

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}}$

${\displaystyle Z_{}}$ a partíció függvény (statisztikai mechanika) ${\displaystyle k_{B}}$ a Boltzmann-állandó, ${\displaystyle T}$ a hőmérséklet ${\displaystyle E_{i}}$ az ${\displaystyle i}$ állapot energiája

A Boltzmann-tényező :

${\displaystyle \exp {(-\beta E_{i}\,)}=\exp {(-E_{i}/k_{B}T)}}$

Levezetés

Tekintsünk egy egyatomos rendszert ${\displaystyle E_{1},E_{2},...}$ energia állapotokkal. Ez a rendszer kapcsolatban van egy hőtárolóval és a teljes energia:

${\displaystyle E=E_{s}+E_{r}=konstans}$

ahol ${\displaystyle E_{s}}$ a rendszer teljes energiája és a ${\displaystyle E_{r}}$ a teljes tárolt energia. Egyensúlyban ${\displaystyle R}$ és ${\displaystyle S}$ állapotai száma ${\displaystyle \Omega }$ többszöröse. Így a teljes energia :

${\displaystyle \Omega _{E}\approx \Omega _{R}(E_{R})-\Omega _{S}(E_{S})}$

Az ekvipartíció-tételből következően annak valószínűsége, hogy egy atom ${\displaystyle E_{j}}$ állapotban van, összefüggésben van a tároló állapotainak számával. Tekintsük a két valószínűség arányát:

${\displaystyle {\frac {P(E_{2})}{P(E_{1})}}={\frac {\Omega _{R}(E-E_{2})}{\Omega _{R}(E-E_{1})}}}$

az állapotok száma összefüggésbe hozható az entrópia elméletével a

${\displaystyle S_{R}(E_{j})=k_{B}\ln[\Omega _{R}(E-E_{j})]}$ kifejezésen keresztül

amely adja:

${\displaystyle {\frac {P(E_{2})}{P(E_{1})}}={\frac {\exp {[{\frac {S_{R}(E_{2})}{k_{B}}}]}}{\exp {[{\frac {S_{R}(E_{1})}{k_{B}}}]}}}=\exp \left[{\frac {S_{R}(E_{2})-S_{R}(E_{1})}{k_{B}}}\right]}$

Az alapvető termodinamikus összefüggésből következik, hogy a tároló (a kémiai potenciált elhanyagolva):

${\displaystyle dS_{R}={\frac {1}{T}}[dU_{R}+PdV_{R}]}$

ahol ${\displaystyle S_{R}}$ az entrópia, ${\displaystyle U_{R}}$ a belső energia, ${\displaystyle P}$ a nyomás, és ${\displaystyle V}$ a térfogat.

Gázoknál indokolt feltételezni, hogy ${\displaystyle PdV_{R}\ll dU_{R}}$, így:

${\displaystyle \Delta S_{R}={\frac {1}{T}}\Delta U_{R}}$

${\displaystyle \Delta S_{R}={\frac {1}{T}}[U_{R}(E_{2})-U_{R}(E_{1})]}$

Energia tároláskor: ${\displaystyle E=E_{R}+E_{i}}$ and ${\displaystyle U_{R}(E_{j})=E-E_{j}}$ melyből

${\displaystyle \Delta S_{R}=-{\frac {1}{T}}(E_{1}-E_{2})}$ következik.

A valószínűség arányt behelyettesítve:

${\displaystyle {\frac {P(E_{2})}{P(E_{1})}}=\exp({\frac {-[E_{2}-E_{1}]}{k_{B}T}})={\frac {\exp {(-\beta E_{2})}}{\exp {(-\beta E_{1})}}}}$

ahol ${\displaystyle \beta }$ egy tetszőlegesen definiált jel, a Boltzmann-állandó és a hőmérséklet szorzatának reciproka. A változók szeparálása után írhatjuk:

${\displaystyle {\frac {P(E_{2})}{\exp {(-\beta E_{2})}}}={\frac {P(E_{1})}{\exp {(-\beta E_{1})}}}=const={\frac {1}{Z}}}$

és ezáltal:

${\displaystyle P(E_{i})={\frac {1}{Z}}\exp {(-\beta E_{i})}}$

Megjegyzés

A Boltzmann-tényező önmagában nem egy valószínűség, mert nincs normalizálva. A normalizáló tényező egy osztva a partíciófüggvénnyel, amely a Boltzmann-tényezők összege a rendszer összes állapotára vonatkozóan. Ez adja a Boltzmann-eloszlást.

A Boltzmann-tényezőből le lehet vezetni a következő statisztikákat: Maxwell–Boltzmann-statisztika, a Bose–Einstein-statisztika, és a Fermi–Dirac-statisztika, amelyek leírja a klasszikus részecskék mozgását, valamint a kvantummechanika bozonjait és fermionjait.

Irodalom

• Charles Kittel, Herbert Kroemer: Thermal Physics. (hely nélkül): Freeman & Co.: New York. 1980.  
• Wesson, John; et al: Tokamaks. (hely nélkül): Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-850922-7