| Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A Bernoulli-számok a számelméletben előforduló sajátos értékek. A racionális számokból álló Bernoulli-számsorozatot
a következő rekurzió határozza meg:
továbbá ![{\displaystyle B_{0}+2B_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f54778260248875533bf2336ac570f4b6003fad)
![{\displaystyle B_{0}+3B_{1}+3B_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38f9605548aa5b7c1f219349f8579f5fc69d599)
![{\displaystyle B_{0}+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21035b210e224148a37d2ef17e36b9cb81334062)
és így tovább. - Általánosan a következő rekurzív képlettel értelmezzük a sorozatot:
.
Így adódik a
sorozat.
A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a
sorfejtés. Ebből igazolható, hogy
.
A páros indexű Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:
![{\displaystyle B_{2n}=2(-1)^{n+1}{\frac {\zeta (2n)\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffe301f5b57eac9c3962e52fdf7c1ca60641d0f)
Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}k^{n}={1 \over {n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose {k}}B_{k}m^{n+1-k};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b60b1df231d74e2852d654c89a0bfcada66f75f)
![{\displaystyle {\rm {tg}}\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2693a5a10c71af37f2b18771d21c8cd12f3f83)
![{\displaystyle {\rm {ctg}}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f14f6742bb10b060f03f80447f43281a4535732)
A Bernoulli-számok számlálói és nevezői
T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:
- Ha
, akkor
, ahol azon p prímszámokat összegezzük, amelyekre
.
Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor
nevezője osztható 6-tal.
Aszimptotikus becslés
n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula:
.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap