Érintőnégyszög

Az érintőnégyszög olyan konvex négyszög, amelynek oldalai egyazon kör érintői (más szóval van beírt köre). Az érintősokszög speciális esete.

Érintőnégyszög például a négyzet, a rombusz és a konvex deltoid. Ha egy érintőnégyszög egyben húrnégyszög is, akkor bicentrikus négyszögnek nevezzük.

Az érintőnégyszög-tétel (ld. lentebb) a definíciónál egyszerű kritériumot ad arra nézve, hogy egy négyszög mely esetben érintőnégyszög. Nevezetesen, egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.

Az érintőnégyszög területe ${\displaystyle T\,=\,r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d)}$, ahol a, b, c és d az oldalak hossza, és r a beírt kör sugara. A bicentrikus négyszög területe: ${\displaystyle T\,=\,{\sqrt {abcd}}}$.

Szögfelezők

Egy érintőnégyszögben a szögfelezők a beírt kör középpontjában metszik egymást, és fordítva, ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor az érintőnégyszög.

Érintőnégyszög-tétel

Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő: ${\displaystyle a+c=b+d=s}$, ahol ${\displaystyle s}$ a félkerület.

Következmény

A négyszöget a kör középpontjából háromszögekre bontva adódik, hogy ${\displaystyle T=rs}$. Ebből és a Bretschneider-formulából

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}{2(a+b+c+d)}}={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(a-b)^{2}(a+b-s)^{2}}}{2s}}}$,

ahol ${\displaystyle p}$ és ${\displaystyle q}$ az átlók hossza.

A tétel megfordítása

Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.^[1]

A tétel bizonyítása

A körhöz húzott érintő pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek (érintő és szelőszakaszok tétele), vagyis ${\displaystyle AB+CD=a+b+c+d}$ és ${\displaystyle BC+AD=b+c+a+d}$.

A tétel megfordításának bizonyítása

Indirekt bizonyítjuk:

Tegyük fel, hogy ${\displaystyle a+c=b+d}$ fennáll, de a négyszög nem érintőnégyszög. Legyen ${\displaystyle a}$ a leghosszabb oldal, ekkor ${\displaystyle b}$ és ${\displaystyle d}$ összetartó egyenesek. Ha van két egyenlő hosszúságú oldal (${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle c}$), akkor nem helyezkedhetnek el egymással szemben a feltétel miatt, miszerint ${\displaystyle a}$ hosszabb a másik két oldalnál. Az ${\displaystyle a}$ oldal és a ${\displaystyle b}$ illetve ${\displaystyle d}$ oldal ${\displaystyle c}$ felé történő meghosszabbítása által meghatározott háromszög egyértelműen meghatároz egy ${\displaystyle k}$ kört. Tegyük fel, hogy ${\displaystyle k}$ nem érinti ${\displaystyle c}$-t.

Ekkor két eset van:

1) ${\displaystyle c}$ metszi ${\displaystyle k}$-t

vagy

2) ${\displaystyle c}$-nek és ${\displaystyle k}$-nak nincsen közös pontja

Mozgassuk el ${\displaystyle c}$ egyenesét párhuzamosan úgy, hogy érintse ${\displaystyle k}$-t. Ekkor ${\displaystyle a,b',c',d'}$ érintőnégyszög mindkét esetben.

1)-nél ${\displaystyle c'<c,b'>b,d'>d}$, de ekkor nem lenne igaz a ${\displaystyle a+c=b+d}$ feltevés, vagyis ellentmondáshoz jutottunk.

2)-nél ugyanígy ellentmondás, mivel ${\displaystyle c'>c,b'<b,d'<d}$.

Átlók beírt körei

Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha az átlói által meghatározott négy háromszög beírt köreinek sugaraira teljesül ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}+{\tfrac {1}{r_{3}}}={\tfrac {1}{r_{2}}}+{\tfrac {1}{r_{4}}}}$.^[2]

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Érintőnégyszög témájú médiaállományokat.

• Chao, Wu Wei & Simeonov, Plamen (2000), "When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698)", American Mathematical Monthly 107 (7): 657–658, DOI 10.2307/2589133.
• Weisstein, Eric W., "Tangential Quadrilateral", MathWorld