Principe variationnel d'Ekeland

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Cet article concerne le théorème d'analyse mathématique. Pour les principes variationnels en physique, voir Principe variationnel.

Le principe variationnel d'Ekeland est un théorème d'analyse mathématique, découvert par Ivar Ekeland[1],[2],[3], qui garantit l'existence de solutions presque optimales à certains problèmes d'optimisation.

Il peut être utilisé lorsque l'espace métrique des variables du problème d'optimisation n'est pas compact — ce qui empêche d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass — mais seulement complet.

Sa forme faible permet de démontrer rapidement le théorème du point fixe de Caristi[4]. De plus, cette propriété des espaces complets les caractérise (parmi les espaces métriques).

Énoncé

Soient :

Alors, pour tout δ > 0, il existe un point y de X tel que :

  • f ( y ) ≤ f ( x ) , {\displaystyle f(y)\leq f(x),}
  • d ( x , y ) ≤ δ  et {\displaystyle d(x,y)\leq \delta {\text{ et}}}
  • ∀ z ∈ X ∖ { y } f ( z ) > f ( y ) − ε δ d ( y , z ) . {\displaystyle \forall z\in X\setminus \{y\}\quad f(z)>f(y)-{\varepsilon \over \delta }d(y,z).}

Variantes

L'énoncé usuel ci-dessus équivaut à son cas particulier ε = δ = 1 (en remplaçant f par f/ε et d par d/δ), ainsi qu'aux quatre variantes suivantes. Il est commode, pour formuler et démontrer tous ces théorèmes, d'associer à f le préordre[5] ≼ défini par : u ≼ v ⇔ f(u) + d(u, v) ≤ f(v).

Soient (X, d) un espace métrique complet et f : X → [0, +∞] une application semi-continue inférieurement et non constamment égale à +∞.

  1. Tout point de X possède un ≼-minorant ≼-minimal[6],[7],[8].
  2. Tout point de X dont l'image par f est inférieure ou égale à 1 + inf(f(X)) possède un ≼-minorant ≼-minimal[9].
  3. « Forme faible[10] » — Il existe dans X un élément ≼-minimal dont l'image par f est inférieure ou égale à 1 + inf(f(X)).
  4. Il existe dans X un élément ≼-minimal.

Démonstrations

Dans les variantes ci-dessus, on a évidemment 1 ⇒ 2, 3 ⇒ 4 et, en notant 2½ la version ε = δ = 1 de l'énoncé usuel, 2 ⇒ 2½ et 2½ ⇒ 3.

  • Preuve de 1[6] : à partir de y0 = x, on définit par récurrence une suite (yn), en notant Fn l'ensemble des ≼-minorants de yn et en choisissant dans Fn un point yn+1 tel que f(yn+1) ≤ 1/(n + 1) + inf(f(Fn)). L'unique point y commun aux fermés Fn est alors solution.
  • 4 ⇒ 1, en changeant d'espace : le sous-espace des ≼-minorants d'un point arbitraire de X est fermé donc complet.
  • Si X vérifie 3 (ou même seulement 4) pour toute application f comme dans l'énoncé, alors il est complet[11],[6] : soit (yn) une suite de Cauchy dans X. L'application f définie sur X par f(x) = 2 limn→∞ d(yn, x) est uniformément continue. Soit y minimal pour l'ordre ≼ associé à f. Pour tout entier naturel m, f(ym) + d(ym, y) ≥ f(y) donc par passage à la limite, 0 + f(y)/2 ≥ f(y), par conséquent f(y) = 0, autrement dit (yn) converge vers y.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ekeland's variational principle » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) Ivar Ekeland, « On the variational principle », J. Math. Anal. Appl., vol. 47, no 2,‎ , p. 324-353 (lire en ligne).
  2. ↑ (en) Ivar Ekeland, « Nonconvex minimization problems », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 1, no 3,‎ , p. 443-474 (lire en ligne).
  3. ↑ (en) Ivar Ekeland et Roger Temam, Convex Analysis and Variational Problems, SIAM, (1re éd. 1976), 402 p. (ISBN 0-89871-450-8, MR 1727362, lire en ligne), p. 357-373.
  4. ↑ (en) Efe A. Ok, Real Analysis with Economics Applications, PUP, , 802 p. (ISBN 978-0-691-11768-3, lire en ligne), « Addenda: The Ekeland Variational Principle », p. 664.
  5. ↑ Sur l'ensemble des points où f est à valeurs finies, c'est un ordre.
  6. ↑ a b et c (en) Osman Güler, Foundations of Optimization, New York, Springer, coll. « GTM » (no 258), (ISBN 978-0-387-68407-9, lire en ligne), chap. 3, § 1 (« Ekeland's ϵ-Variational Principle »), p. 61-64.
  7. ↑ (en) Georgiana Goga, « Some equivalent geometrical results with Ekeland's variational principle », An. Şt. Univ. Ovidius Constanța, vol. 13, no 1,‎ , p. 79-88 (lire en ligne), Theorem 2.2.
  8. ↑ (en) Jonathan M. Borwein et Qiji J. Zhu, Techniques of Variational Analysis, New York, Springer, (ISBN 978-0-387-28271-8, lire en ligne), chap. 2, § 1 (« Ekeland Variational Principles »), p. 6-7, Theorem 2.1.1.
  9. ↑ Borwein et Zhu 2006, Theorem 2.1.1.
  10. ↑ (en) George Isac, Vladimir A. Bulavsky et Vyacheslav V. Kalashnikov, Complementarity, Equilibrium, Efficiency and Economics, Springer, , 445 p. (ISBN 978-1-4020-0688-3, lire en ligne), « 13, § 5 », p. 407.
  11. ↑ (en) J. D. Weston, « A characterization of metric completeness », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 64, no 1,‎ , p. 186-188 (lire en ligne).

Article connexe

Théorème de la goutte

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