Points cocycliques

En géométrie, des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle.

Trois points non alignés du plan sont cocycliques. En effet, tout triangle possède un cercle circonscrit.

Quatre points cocycliques

Propriété — Soient A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} et D {\displaystyle D} quatre points distincts du plan. Alors A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , D {\displaystyle D} sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité d'angles orientés

( C A → , C B → ) = ( D A → , D B → ) mod π . {\displaystyle \left({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}}\right)=\left({\overrightarrow {DA}},{\overrightarrow {DB}}\right)\mod \pi .}

La propriété précédente est un corollaire du théorème de l'angle inscrit.

Si a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} sont les affixes respectives de A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} , la condition précédente s'écrit aussi

arg ⁡ ( c − b c − a ) = arg ⁡ ( d − b d − a ) mod π {\displaystyle \arg \left({\frac {c-b}{c-a}}\right)=\arg \left({\frac {d-b}{d-a}}\right)\mod \pi }

D'où en utilisant le birapport, la condition équivalente :

[ a , b , c , d ] = ( c − b c − a ) : ( d − b d − a ) {\displaystyle [a,b,c,d]=\left({\frac {c-b}{c-a}}\right):\left({\frac {d-b}{d-a}}\right)} réel

Le théorème de Ptolémée donne une condition nécessaire et suffisante de cocyclicité de quatre points par leurs distances.

Théorème — Soient A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} et D {\displaystyle D} quatre points distincts du plan. Ces points sont cocycliques si et seulement si l'une des quatre égalités suivantes est vérifiée :

A B ⋅ C D ± A C ⋅ D B ± A D ⋅ B C = 0 {\displaystyle AB\cdot CD\pm AC\cdot DB\pm AD\cdot BC=0} .

L'énoncé donne « quatre égalités » car ± doit se lire soit +, soit -[1].

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Concyclic », sur MathWorld

Références

  1. ↑ Donné sous cette forme par Marcel Berger, Géométrie vivante : ou l'échelle de Jacob, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique », (ISBN 9782842250355), p. 154.
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