Partie étoilée

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Exemple de partie étoilée : la partie rouge est :
– étoilée par rapport au point vert ;
– mais non étoilée par rapport au point bleu.

En géométrie, une partie A d'un espace affine réel E est dite étoilée par rapport à un point a de A si, pour tout point x de A, le segment [a, x] est contenu dans A, c'est-à-dire que dans A, tout point peut être relié à a par un chemin rectiligne.

Définitions

Plus formellement, puisque le segment [a, x] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points a et x : une partie non vide A de E est étoilée par rapport à un point a de E si

\forall x\in A\quad \{(1-t)a+tx\mid t\in \left[0,1\right]\}\subset A.

(Cette condition assure que a est forcément dans A.)

Une partie de E est dite étoilée (sans plus de précisions) si elle est étoilée par rapport à un point au moins.

Propriétés affines

Une partie non vide est étoilée par rapport à a si et seulement si elle est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour $t\in \left[0,1\right]$ .
Une partie de E est convexe si et seulement si elle est étoilée par rapport à chacun de ses points.
Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.
Une partie $A$ d'un espace vectoriel réel $E$ est étoilée par rapport à $0$ si et seulement s'il existe une fonction $p:E\to \left[0,+\infty \right]$ positivement homogène (au sens : $\forall t\in \left[0,+\infty \right[\quad \forall x\in E\quad p(tx)=tp(x)$ , avec la convention $0\times \infty =0$ ) telle que $\{x\in E\mid p(x)<1\}\subset A\subset \{x\in E\mid p(x)\leq 1\}$ . Une telle fonction est alors nécessairement égale à la fonctionnelle de Minkowski de $A$ : $\forall x\in E\quad p(x)=\inf {\{\lambda >0\mid x\in \lambda A\}}$ ^[1].

Propriétés topologiques

On suppose ici que l'espace affine réel E est topologique, c'est-à-dire associé à un espace vectoriel topologique.

Toute partie étoilée a le type d'homotopie d'un point.
Toute partie étoilée est connexe par arcs, et donc tout ouvert étoilé est un domaine (c'est-à-dire un ouvert connexe par arcs).
La propriété d'être étoilé n'est pas invariante par homéomorphisme, mais les ouverts étoilés sont parmi les exemples les plus simples et les plus importants d'espaces contractiles.
D'après le lemme de Poincaré, toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé est exacte.