Constante de Copeland-Erdős

En mathématiques, la constante de Copeland-Erdős est une constante mathématique créée en concaténant les représentations en base dix des nombres premiers.

Définition

Formellement, la constante de Copeland-Erdős est définie comme égale à :

∑ n = 1 ∞ p n 10 − ( n + ∑ k = 1 n E ( log 10 ⁡ p k ) ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}E(\log _{10}{p_{k}})\right)}} ,

où p k {\displaystyle p_{k}} est le k-ième nombre premier, et E ( log 10 ⁡ p k ) {\displaystyle E(\log _{10}{p_{k}})} la partie entière de son logarithme décimal.

Autrement dit, son développement décimal est la concaténation de « 0, » et des représentations en base dix des nombres premiers, c.-à-d. :

0,2357111317192329… (suite A33308 de l'OEIS).

Propriétés

En base dix, cette constante est un nombre normal (donc irrationnel), ce qui fut prouvé par Arthur Herbert Copeland et Paul Erdős en 1946[1],[2]. En tant que tel, c'est aussi un nombre univers.

Sa représentation en fraction continue débute par [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, etc.] (suite A30168 de l'OEIS).

Référence

  1. ↑ (en) Arthur H. Copeland et Paul Erdős, « Note on normal numbers », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 52,‎ , p. 857-860 (DOI 10.1090/S0002-9904-1946-08657-7, MR 0017743, lire en ligne) ; cet article démontre que ce résultat est vrai pour toute suite d'entiers suffisamment dense.
  2. ↑ (en) Yann Bugeaud, Distribution Modulo One and Diophantine Approximation, Cambridge University Press, , 300 p. (ISBN 978-0-521-11169-0, lire en ligne), p. 87.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Copeland-Erdős Constant », sur MathWorld

  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres